ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ромб со стороной 10 см и углом \(60^\circ\) вращается вокруг прямой, содержащей одну из сторон ромба. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения:

\(S_{\text{полн}} = S_{\text{бок. кон.}} + S_{\text{бок. вн. кон.}} = 2\pi \cdot 10 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{2} + 2\pi \cdot 10 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{2} = 200\pi\sqrt{3}\) (см²)

1. Пусть ромб со стороной 10 см и углом \(60^\circ\) вращается вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. При таком вращении получаются две конусообразные поверхности: одна — наружная, другая — внутренняя, так как диагонали ромба делят его на два равных треугольника, и при вращении вокруг стороны эти треугольники образуют два конуса.

2. Для вычисления площади боковой поверхности каждого конуса нужно знать радиус основания и образующую. Радиус основания равен высоте ромба, опущенной из вершины на сторону, то есть \(10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) см. Образующая совпадает со стороной ромба и равна 10 см. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(r\) — радиус основания, \(l\) — образующая.

3. Так как конусов два, и у каждого радиус основания одинаковый, полная площадь поверхности тела вращения будет равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса: \(S_{\text{полн}} = 2 \pi \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 100\pi\sqrt{3}\) см² для одного конуса и \(200\pi\sqrt{3}\) см² для двух. Ответ: \(200\pi\sqrt{3}\) см².