ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 6 см, а высота — 8 см. Найдите площадь: 1) боковой поверхности конуса; 2) полной поверхности конуса.

Дано: \( r = 6 \) см, \( h = 8 \) см.

1) Находим образующую конуса по теореме Пифагора:
\( l^2 = h^2 + r^2 \)
\( l = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \) см.

Площадь боковой поверхности:
\( S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \) см\(^2\).

2) Площадь полной поверхности:
\( S_{\text{полн}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi \cdot 6^2 + 60\pi = 36\pi + 60\pi = 96\pi \) см\(^2\).

Для решения задачи сначала определим все необходимые элементы конуса. Радиус основания конуса равен \( r = 6 \) см, а высота \( h = 8 \) см. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам потребуется длина образующей \( l \), которая соединяет вершину конуса с точкой на окружности основания. По теореме Пифагора, образующая \( l \) вычисляется как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \( r \) и \( h \): \( l^{2} = h^{2} + r^{2} \). Подставляя значения: \( l^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 \), следовательно, \( l = \sqrt{100} = 10 \) см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \pi r l \). Подставляем известные значения: \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \) см\( ^{2} \). Это площадь части поверхности конуса, которая «оборачивает» его, не считая основания.

Теперь определим площадь полной поверхности конуса. Она включает в себя площадь боковой поверхности и площадь основания. Площадь основания круга вычисляется по формуле \( S_{\text{осн}} = \pi r^{2} \). Подставим значения: \( S_{\text{осн}} = \pi \cdot 6^{2} = 36\pi \) см\( ^{2} \). Тогда площадь полной поверхности равна сумме: \( S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 36\pi + 60\pi = 96\pi \) см\( ^{2} \).

В итоге, мы получили: длина образующей \( l = 10 \) см, площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = 60\pi \) см\( ^{2} \), площадь основания \( S_{\text{осн}} = 36\pi \) см\( ^{2} \), а полная площадь поверхности конуса \( S_{\text{полн}} = 96\pi \) см\( ^{2} \).