ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг. Какова величина угла при вершине осевого сечения конуса?

Угол при вершине осевого сечения конуса равен \(60^\circ\).

Пояснение: если развёртка боковой поверхности конуса — полукруг, значит, длина дуги основания равна длине окружности основания конуса, то есть центральный угол сектора развёртки равен \(180^\circ\). Тогда угол при вершине осевого сечения конуса равен \(60^\circ\).

1. Пусть радиус основания конуса равен \(R\), а образующая конуса — \(L\). Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор круга с радиусом \(L\), причём длина дуги сектора совпадает с длиной окружности основания конуса, то есть \(2\pi R\). Если развёртка — полукруг, центральный угол сектора равен \(180^\circ\). Значит, длина дуги равна половине длины полной окружности: \( \pi L \).

2. Приравняем длины дуг: \( \pi L = 2\pi R \), отсюда \( L = 2R \). Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, у которого основание равно \(2R\), а боковые стороны (образующие) равны \(L\). Угол при вершине этого треугольника обозначим через \(\alpha\).

3. По теореме косинусов для треугольника: \( 2R^{2} = L^{2} + L^{2} — 2L^{2}\cos\alpha \). Подставим \(L = 2R\): \( 2R^{2} = 4R^{2} + 4R^{2} — 2 \cdot 4R^{2}\cos\alpha \), то есть \( 2R^{2} = 8R^{2} — 8R^{2}\cos\alpha \), отсюда \( 8R^{2}\cos\alpha = 8R^{2} — 2R^{2} \), \( 8R^{2}\cos\alpha = 6R^{2} \), \( \cos\alpha = \frac{3}{4} \). Тогда \(\alpha = \arccos \frac{3}{4} = 60^\circ \). Ответ: угол при вершине осевого сечения конуса равен \(60^\circ\).