ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 5 см. Найдите центральный угол этого сектора, если высота конуса равна 4 см.

Радиус сектора равен образующей конуса: \( l = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \) см.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания: \( 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \).

Длина дуги сектора также равна \( \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l \).

\( \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 5 = 6\pi \)

\( \alpha = \frac{6\pi \cdot 360^\circ}{2\pi \cdot 5} = 216^\circ \)

1. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса. Образующая конуса \( l \) вычисляется по теореме Пифагора, так как она соединяет вершину конуса с точкой на окружности основания, образуя прямоугольный треугольник с высотой и радиусом основания. Пусть радиус основания \( r = 3 \) см, а высота \( h = 4 \) см. Тогда длина образующей: \( l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) см. Значит, радиус сектора \( R = 5 \) см.

2. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. Окружность основания конуса имеет радиус \( r = 3 \) см, значит её длина равна \( 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \) см. Дуга сектора развёртки также выражается через центральный угол \( \alpha \) как часть длины полной окружности радиуса \( R \): \( L = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi R \).

3. Приравниваем длину дуги сектора к длине окружности основания: \( \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 5 = 6\pi \). Сокращаем обе части уравнения на \( 2\pi \): \( \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 5 = 3 \). Тогда \( \alpha = \frac{3 \cdot 360^{\circ}}{5} = 216^{\circ} \). Центральный угол сектора развёртки боковой поверхности конуса равен \( 216^{\circ} \).