ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из круга вырезали сектор, представляющий собой четверть круга. Из этого сектора и из оставшейся части круга изготовили боковые поверхности двух конусов. Найдите отношение высот конусов с этими боковыми поверхностями.

Пусть высоты конусов равны \( h_1 \) и \( h_2 \).

Отношение высот конусов:
\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{105}}{7}\)

Сектор — это четверть круга, поэтому длина дуги сектора равна четверти длины окружности. Эта дуга становится образующей первого конуса, а оставшаяся часть круга — боковой поверхностью второго конуса. Отношение высот выражается через отношение длин дуг, что даёт указанную формулу.

1. Пусть радиус исходного круга равен \( R \). Из круга вырезают сектор, который составляет четверть круга, то есть угол сектора равен \( 90^\circ \) или \( \frac{\pi}{2} \) радиан. Длина дуги этого сектора равна \( \frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{2} \). Эта дуга становится образующей первого конуса, а оставшаяся часть круга (три четверти) используется для второго конуса, и длина его дуги равна \( \frac{3\pi R}{2} \).

2. При построении конусов из этих боковых поверхностей длина дуги становится длиной окружности основания конуса. Пусть образующая первого конуса равна \( l_1 = R \), а длина основания \( C_1 = \frac{\pi R}{2} \). Для второго конуса образующая также равна \( l_2 = R \), а длина основания \( C_2 = \frac{3\pi R}{2} \). Радиусы оснований конусов: \( r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{\frac{\pi R}{2}}{2\pi} = \frac{R}{4} \) и \( r_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{\frac{3\pi R}{2}}{2\pi} = \frac{3R}{4} \).

3. Высота конуса выражается через теорему Пифагора: \( h = \sqrt{l^2 — r^2} \). Для первого конуса: \( h_1 = \sqrt{R^2 — \left(\frac{R}{4}\right)^2} = \sqrt{R^2 — \frac{R^2}{16}} = \sqrt{\frac{15R^2}{16}} = \frac{R\sqrt{15}}{4} \). Для второго конуса: \( h_2 = \sqrt{R^2 — \left(\frac{3R}{4}\right)^2} = \sqrt{R^2 — \frac{9R^2}{16}} = \sqrt{\frac{7R^2}{16}} = \frac{R\sqrt{7}}{4} \). Отношение высот: \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{R\sqrt{15}}{4}}{\frac{R\sqrt{7}}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{15}{7}} \). В задаче по фото указано \( \frac{\sqrt{105}}{7} \), что эквивалентно \( \sqrt{\frac{105}{49}} = \sqrt{\frac{15}{7}} \). Ответ совпадает с фото: \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{105}}{7} \).