ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через две образующие конуса проведена плоскость, образующая с плоскостью основания конуса угол \(\alpha\). Расстояние от центра основания конуса до этой плоскости равно \(a\), а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\beta\). Найдите радиус основания конуса.

Обозначим радиус основания конуса через \( r \).

По условию, расстояние от центра основания конуса до плоскости, проходящей через две образующие, равно \( a \). Угол между образующей и основанием — \( \beta \), а угол между плоскостью и основанием — \( \alpha \).

Используем тригонометрию:

\( r = \frac{a \cdot \cot \beta}{\cos \alpha} \)

1. Пусть центр основания конуса — точка \( O \), а плоскость проходит через две образующие и образует угол \( \alpha \) с основанием. Расстояние от \( O \) до этой плоскости равно \( a \). Угол между образующей конуса и плоскостью основания — \( \beta \). Требуется найти радиус основания \( r \).

2. Рассмотрим треугольник, образованный осью конуса, радиусом основания и образующей. Обозначим высоту конуса через \( h \), а длину образующей через \( l \). По определению угла между образующей и основанием: \(\tan \beta = \frac{r}{h}\), отсюда \( r = h \cdot \tan \beta \).

3. Плоскость, проходящая через две образующие, наклонена к основанию под углом \( \alpha \). Расстояние от центра основания до этой плоскости — это проекция высоты конуса \( h \) на направление, перпендикулярное плоскости. Значит, \( a = h \cdot \cos \alpha \), отсюда \( h = \frac{a}{\cos \alpha} \).

4. Подставим найденное значение \( h \) в выражение для радиуса:
\( r = h \cdot \cot \beta = \frac{a}{\cos \alpha} \cdot \cot \beta \).

5. Окончательно получаем:
\( r = \frac{a \cdot \cot \beta}{\cos \alpha} \).