ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(MO\) — высота конуса, \(MO = 4\sqrt{2}\) см, отрезки \(MA\) и \(MB\) — его образующие. Расстояние от точки \(O\) до прямой \(AB\) равно 2 см. Найдите расстояние от точки \(O\) до плоскости \(AMB\).

Краткое решение: пусть \(d\) — искомое расстояние от точки \(O\) до плоскости \(AMB\). По формуле расстояния от точки до плоскости через высоту и расстояние до прямой в основании: \(d = \frac{MO \cdot OO_1}{MA}\), где \(MO = 4\sqrt{2}\), \(OO_1 = 2\), \(MA = MB = 6\).

Подставляем значения: \(d = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\) см.

Ответ: \(d = \frac{4\sqrt{2}}{3}\) см.

1. Пусть \(MO\) — высота конуса, проведённая из вершины \(M\) к центру основания \(O\). По условию, \(MO = 4\sqrt{2}\) см. Отрезки \(MA\) и \(MB\) — образующие конуса, и они равны, так как треугольник \(AMB\) равнобедренный. Также известно, что расстояние от точки \(O\) до прямой \(AB\) в основании равно 2 см.

2. Требуется найти расстояние от точки \(O\) до плоскости \(AMB\). Пусть это расстояние равно \(d\). В основании конуса лежит круг, и точка \(O\) — его центр. Прямая \(AB\) — хорда, а \(OO_1\) — расстояние от центра круга до этой хорды, то есть перпендикуляр, равный 2 см. Вся задача сводится к нахождению расстояния от центра основания до боковой плоскости, проходящей через вершину конуса и хорду основания.

3. По формуле расстояния от точки до плоскости, если известна высота конуса (\(MO\)) и расстояние от центра основания до хорды (\(OO_1\)), искомое расстояние вычисляется по подобию треугольников: \(d = \frac{MO \cdot OO_1}{MA}\). Подставляем значения: \(MO = 4\sqrt{2}\), \(OO_1 = 2\), \(MA = MB = 6\). Получаем: \(d = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\) см.

Ответ: \(d = \frac{4\sqrt{2}}{3}\) см.