ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через две образующие конуса проведено сечение, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен \(\alpha\). Угол между образующей и плоскостью основания равен \(\beta\), а радиус основания конуса равен \(R\). Найдите площадь этого сечения.

Площадь сечения конуса через две его образующие определяется по формуле:

\(
S = \frac{R^2 \tan \beta \sqrt{1 — \tan^2 \beta \cot^2 \alpha}}{\sin \alpha}
\)

где \(R\) — радиус основания, \(\alpha\) — угол между плоскостью сечения и основанием, \(\beta\) — угол между образующей и основанием.

В числителе \(R^2 \tan \beta\) — произведение радиуса в квадрате и тангенса угла между образующей и основанием, а под корнем разность единицы и произведения квадратов тангенса и котангенса соответствующих углов. В знаменателе — синус угла между плоскостью сечения и основанием.

1. Пусть дан конус с радиусом основания \(R\). Через две его образующие проведено сечение, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса обозначим как \(\alpha\), а угол между образующей и основанием — как \(\beta\). Требуется найти площадь этого сечения. Для решения задачи рассмотрим, что сечение конуса через две образующие представляет собой прямоугольник или трапецию, но в данном случае формула учитывает углы наклона, поэтому используется тригонометрия.

2. Основная формула для площади такого сечения выглядит следующим образом:
\(
S = \frac{R^{2} \tan \beta \sqrt{1 — \tan^{2} \beta \cot^{2} \alpha}}{\sin \alpha}
\).
Здесь \(R^{2}\) — квадрат радиуса основания, \(\tan \beta\) — тангенс угла между образующей и основанием, \(\cot \alpha\) — котангенс угла между секущей плоскостью и основанием. Под корнем вычисляется выражение \(1 — \tan^{2} \beta \cot^{2} \alpha\), что отражает геометрические ограничения: если \(\tan^{2} \beta \cot^{2} \alpha = 1\), то сечение вырождается. В знаменателе стоит \(\sin \alpha\), что связано с проекцией секущей плоскости на основание.

3. Для получения этой формулы используется анализ пересечения секущей плоскости с конусом, а также свойства тригонометрических функций. Площадь выражается через параметры конуса и углы, задающие положение секущей плоскости. В числителе формулы \(R^{2} \tan \beta\) — это произведение квадрата радиуса и тангенса угла между образующей и основанием, что определяет масштаб и наклон сечения. Корень \(\sqrt{1 — \tan^{2} \beta \cot^{2} \alpha}\) учитывает, насколько глубоко секущая плоскость «проходит» через конус относительно образующих. Деление на \(\sin \alpha\) нормирует площадь по наклону секущей плоскости.

Ответ:
\(
S = \frac{R^{2} \tan \beta \sqrt{1 — \tan^{2} \beta \cot^{2} \alpha}}{\sin \alpha}
\)