ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через две образующие конуса, угол между которыми равен \(\alpha\), проведено сечение. Угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания конуса равен \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна \(H\).

Площадь боковой поверхности находится по формуле:

\(
S = \frac{\pi H^2 \sqrt{1 — \sin^2 \beta \cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \beta}
\)

В числителе — произведение \(\pi H^2\) и корня, отражающего геометрию сечения. В знаменателе — произведение \(\cos^2 \frac{\alpha}{2}\) и \(\sin^2 \beta\), что связано с углами между образующими и секущей плоскостью.

1. Пусть высота конуса равна \(H\), угол между двумя образующими — \(\alpha\), а угол между плоскостью сечения и основанием конуса — \(\beta\). Сечение проходит через две образующие, между которыми угол \(\alpha\), и наклонено к основанию под углом \(\beta\). Для нахождения площади боковой поверхности такого конуса используется геометрия сечения, учитывающая оба эти угла.

2. В числителе формулы стоит произведение \(\pi H^2\) и квадратного корня из выражения \(1 — \sin^2 \beta \cos^2 \frac{\alpha}{2}\). Здесь \(H^2\) — квадрат высоты конуса, а множитель \(\pi\) появляется из-за вращательной симметрии при вычислении площади боковой поверхности. Корень отражает уменьшение площади из-за наклона сечения относительно основания и угла между образующими: чем больше \(\beta\) или \(\alpha\), тем меньше площадь пересечения.

3. В знаменателе стоит произведение \(\cos^2 \frac{\alpha}{2}\) и \(\sin^2 \beta\). Здесь \(\cos^2 \frac{\alpha}{2}\) связано с углом между образующими, а \(\sin^2 \beta\) — с наклоном секущей плоскости. Чем меньше эти значения, тем больше площадь боковой поверхности, так как сечение становится ближе к вертикальному. Формула для площади боковой поверхности конуса в такой ситуации:

\(
S = \frac{\pi H^2 \sqrt{1 — \sin^2 \beta \cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \beta}
\)