ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.

Пусть угол при вершине осевого сечения конуса равен \( \alpha \). Если на поверхности конуса можно провести три попарно перпендикулярные образующие, то косинус угла между ними равен нулю. Из анализа геометрии конуса получается, что \(\cos\alpha = -\frac{1}{3}\).

Ответ: \(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\).

1. Пусть осевое сечение конуса имеет угол при вершине \( \alpha \). Проведём три образующие через одну точку на поверхности конуса так, чтобы они были попарно перпендикулярны друг к другу. Геометрически это возможно только если направление этих образующих соответствует трём взаимно перпендикулярным векторам в пространстве, то есть их углы между собой равны \( 90^\circ \).

2. Рассмотрим векторные направления этих образующих. Пусть одна из них совпадает с осью симметрии конуса, а две другие лежат на поверхности. Угол между осью конуса и образующей равен \( \frac{\alpha}{2} \). Если все три образующие попарно перпендикулярны, то скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. В результате решения уравнения для углов между образующими получается условие \( \cos\alpha = -\frac{1}{3} \).

3. Следовательно, угол при вершине осевого сечения конуса выражается через арккосинус: \( \alpha = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \). Это значение является единственным решением, при котором можно провести три попарно перпендикулярные образующие на поверхности конуса.