ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота конуса равна \(H\), а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\alpha\). Найдите площадь: 1) осевого сечения конуса; 2) боковой поверхности конуса.

1) Площадь осевого сечения конуса равна площади треугольника с высотой \(H\) и основанием \(2H \cot \alpha\):

\(
S_{\text{ос. сеч.}} = \frac{1}{2} \cdot 2H \cot \alpha \cdot H = \frac{H^2}{\tan \alpha}
\)

2) Радиус основания конуса: \(R = H \tan \alpha\). Длина образующей: \(l = \frac{H}{\sin \alpha}\). Площадь боковой поверхности:

\(
S_{\text{бок. пов.}} = \pi R l = \pi H \tan \alpha \cdot \frac{H}{\sin \alpha} = \frac{\pi H^2}{\cos \alpha}
\)

Для нахождения площади осевого сечения конуса рассмотрим треугольник, образованный высотой конуса \(H\) и двумя образующими, которые пересекают основание под углом \(\alpha\). Осевое сечение — это треугольник, у которого высота равна \(H\), а основание — это диаметр основания конуса. Диаметр основания можно выразить через угол \(\alpha\): если радиус основания \(R = H \tan \alpha\), то диаметр \(2R = 2H \tan \alpha\). Однако, в осевом сечении основание треугольника связано с катетом, противоположным углу \(\alpha\), то есть \(OC = H \cot \alpha\), а весь отрезок основания \(AC = 2H \cot \alpha\). Площадь треугольника вычисляется по формуле: \(\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\), то есть \(\frac{1}{2} \times 2H \cot \alpha \times H = H^2 \cot \alpha\). Так как \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\), окончательно получаем: \(S_{\text{ос. сеч.}} = \frac{H^2}{\tan \alpha}\).

Для вычисления площади боковой поверхности конуса сначала определим радиус основания, который связан с высотой и углом между образующей и основанием. Через тригонометрию получаем: \(R = H \tan \alpha\). Далее найдём длину образующей конуса — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(H\) и \(R\), но проще воспользоваться определением: \(l = \frac{H}{\sin \alpha}\), так как \(\sin \alpha = \frac{H}{l}\), отсюда \(l = \frac{H}{\sin \alpha}\). Формула площади боковой поверхности конуса: \(S_{\text{бок. пов.}} = \pi R l\). Подставляем выражения для \(R\) и \(l\): \(S_{\text{бок. пов.}} = \pi H \tan \alpha \cdot \frac{H}{\sin \alpha}\).

Далее преобразуем выражение для площади боковой поверхности. Заметим, что \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), поэтому \(\frac{\tan \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha}\). Тогда окончательная формула для площади боковой поверхности конуса: \(S_{\text{бок. пов.}} = \pi H^2 \cdot \frac{1}{\cos \alpha}\), или в более привычном виде: \(S_{\text{бок. пов.}} = \frac{\pi H^2}{\cos \alpha}\).