ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезки \(MA\), \(MB\) и \(MC\) — образующие конуса, причём \(MA \perp MB\), \(MB \perp MC\), \(MA \perp MC\), \(MA = 3\) см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Дано: \(MA = MB = MC = 3\) см — образующие конуса, основание — равносторонний треугольник.

Сторона основания: \(AB = AC = BC = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}\) см.

Радиус основания: \(r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}\) см.

Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок.}} = \pi r l = 3\pi\sqrt{6}\) см\(^2\).

1. Пусть вершина конуса — точка \(M\), а основание — равносторонний треугольник \(ABC\). По условию, все образующие равны: \(MA = MB = MC = 3\) см. Значит, треугольник \(ABC\) равносторонний, а точка \(M\) — равноудалена от всех вершин основания. Тогда сторона основания: \(AB = \sqrt{MA^{2} — h^{2}} + \sqrt{MB^{2} — h^{2}}\), но проще воспользоваться расстоянием между вершинами через диагональ квадрата, если рассмотреть треугольник в плоскости. Из рисунка видно, что \(AB = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}\) см.

2. Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника \(ABC\) находится по формуле: \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\), где \(a\) — сторона основания. Подставляем найденное значение: \(r = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Сокращаем подкоренное выражение: \(r = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}\) см.

3. Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой \(S_{\text{бок.}} = \pi r l\), где \(r\) — радиус основания, а \(l\) — длина образующей. Подставляем значения: \(S_{\text{бок.}} = \pi \cdot \sqrt{6} \cdot 3 = 3\pi\sqrt{6}\) см\(^{2}\).