ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABC\), параллельная стороне \(AC\), \(AB = 15\) см, \(AC = 14\) см, \(BC = 13\) см. Треугольник \(ABC\) вращается вокруг прямой \(MK\). Найдите площадь поверхности тела вращения.

Найдем площадь поверхности тела вращения треугольника \(ABC\) вокруг средней линии \(MK\), параллельной стороне \(AC\).

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух усечённых конусов, полученных при вращении частей треугольника относительно средней линии.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса: \(S = \pi (r_1 + r_2) l\), где \(r_1\) и \(r_2\) — радиусы оснований, \(l\) — образующая.

В задаче: \(S_{т.вр} = \pi r_1 l_1 + \pi r_2 l_2 = 252\pi \, (\text{см}^2)\).

1. Пусть треугольник \(ABC\) вращается вокруг средней линии \(MK\), которая параллельна стороне \(AC\). Средняя линия делит треугольник на две части, и при вращении каждая из этих частей образует усечённый конус. Стороны треугольника: \(AB = 15\,\text{см}\), \(BC = 13\,\text{см}\), \(AC = 14\,\text{см}\).

2. При вращении вокруг средней линии \(MK\), расстояния от вершин до оси вращения становятся радиусами оснований усечённых конусов. Для вычисления площади поверхности тела вращения нужно найти боковые поверхности каждого усечённого конуса. Формула площади боковой поверхности усечённого конуса: \(S = \pi (r_1 + r_2) l\), где \(r_1\) и \(r_2\) — радиусы оснований, \(l\) — образующая.

3. Поскольку треугольник делится средней линией на две подобные фигуры, площадь поверхности тела вращения будет равна сумме площадей боковых поверхностей двух усечённых конусов: \(S_{т.вр} = \pi r_1 l_1 + \pi r_2 l_2\). По условию задачи: \(S_{т.вр} = 252\pi\,\text{см}^{2}\).