ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В основании конуса проведены хорды \(AB\) и \(BC\) так, что \(AB = BC = 20\) см, \(\cos \angle ABC = \frac{1}{4}\). Найдите угол между прямой \(AB\) и прямой, содержащей образующую \(SC\), если \(SC = 30\) см.

Пусть \(O\) — центр основания конуса, \(S\) — вершина конуса, \(C\) — точка на окружности основания.

Рассмотрим треугольник \(SBC\): \(SB\) и \(SC\) — образующие конуса, \(BC\) — хорда основания. Из условия, угол между прямой \(AB\) и прямой \(SC\) равен углу между плоскостью основания и образующей \(SC\).

Используем формулу косинуса угла между прямой и плоскостью:

\(\cos \alpha = \frac{BC}{SC}\cos \angle ABC\)

\(\cos \alpha = \frac{20}{30} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}\)

Ответ: угол равен \(\arccos \frac{1}{6}\).

1. Пусть основание конуса — окружность, в которой проведены хорды \(AB\) и \(BC\), причем \(AB = BC = 20\) см. Вершина конуса — точка \(S\), а \(SC = 30\) см — образующая конуса. По условию, \(\cos \angle ABC = \frac{1}{4}\). Требуется найти угол между прямой \(AB\) и прямой, содержащей образующую \(SC\).

2. Рассмотрим точку \(O\) — центр основания конуса. Прямая \(AB\) лежит в плоскости основания, а прямая \(SC\) проходит через вершину конуса и точку \(C\) на окружности. Угол между прямой \(AB\) и прямой \(SC\) равен углу между плоскостью основания и образующей \(SC\), так как \(AB\) лежит в основании. Для вычисления этого угла используем формулу косинуса угла между прямой и плоскостью: \(\cos \alpha = \frac{\text{проекция } SC \text{ на плоскость}}{SC}\).

3. Проекция отрезка \(SC\) на плоскость основания совпадает с длиной хорды \(BC\), так как точки \(B\) и \(C\) лежат на окружности основания. Следовательно, \(\cos \alpha = \frac{BC}{SC} \cos \angle ABC\). Подставим значения: \(BC = 20\) см, \(SC = 30\) см, \(\cos \angle ABC = \frac{1}{4}\). Получаем: \(\cos \alpha = \frac{20}{30} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}\). Следовательно, угол между прямой \(AB\) и прямой, содержащей образующую \(SC\), равен \(\arccos \frac{1}{6}\).