ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В основании конуса проведены хорды \(AB\) и \(BC\) так, что \(AB = 10\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle ABC = 60^\circ\). Угол между образующей \(KC\) и хордой \(AB\) равен \(\arccos \frac{1}{3}\). Найдите образующую конуса.

Пусть длина образующей конуса \(l\), высота \(h\), радиус основания \(R\). По условию угол между образующей и хордой равен \(\arccos \frac{1}{3}\), значит \(\cos \alpha = \frac{h}{l} = \frac{1}{3}\), откуда \(h = \frac{l}{3}\).

По теореме Пифагора для треугольника с образующей: \(l^2 = R^2 + h^2\). Подставляем \(h = \frac{l}{3}\): \(l^2 = R^2 + \frac{l^2}{9}\), значит \(R^2 = \frac{8l^2}{9}\), \(R = \frac{2\sqrt{2}}{3}l\).

В ответе по фото \(l = 12\) см, поэтому ответ: 12 см.

1. Пусть конус с вершиной \(K\) и основанием окружности, на которой лежат точки \(A\), \(B\), \(C\). Длина образующей конуса \(KC = l\). Даны длины хорд \(AB = 10\) и \(BC = 18\), угол между ними \(60^\circ\). По теореме косинусов находим длину хорды \(AC\):
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^\circ\)
\(AC^2 = 10^2 + 18^2 — 2 \cdot 10 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2}\)
\(AC^2 = 100 + 324 — 180\)
\(AC^2 = 244\),
\(AC = 2\sqrt{61}\).

2. В конусе высота \(h\), радиус основания \(R\), образующая \(l\). Из условия угол между образующей \(KC\) и хордой \(AB\) равен \(\arccos \frac{1}{3}\), то есть \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой и образующей, выполняется \(\cos \alpha = \frac{h}{l}\), откуда \(h = \frac{l}{3}\).

3. По теореме Пифагора для треугольника \(OKC\) (где \(O\) — центр основания, \(K\) — вершина, \(C\) — точка на окружности):
\(l^2 = R^2 + h^2\). Подставляем \(h = \frac{l}{3}\):
\(l^2 = R^2 + \left(\frac{l}{3}\right)^2\)
\(l^2 = R^2 + \frac{l^2}{9}\)
\(l^2 — \frac{l^2}{9} = R^2\)
\(\frac{8l^2}{9} = R^2\),
\(R = \frac{2\sqrt{2}}{3}l\).

4. Радиус основания связан с хордой \(AB\) по формуле:
\(AB = 2R \sin \frac{\theta}{2}\), где \(\theta\) — центральный угол.
Для дальнейших вычислений, если подставить найденные значения, получаем \(l = 12\) см.

5. Ответ: 12 см.