ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота конуса равна 20 см. На окружности основания отметили точку \(C\), удалённую от диаметра \(AB\) основания на 15 см. Найдите расстояние между прямой \(AB\) и прямой, содержащей образующую \(SC\) конуса.

Высота конуса \(h = 20\) см, расстояние от точки \(C\) до диаметра \(AB\) основания \(d = 15\) см. В осевом сечении, перпендикулярном диаметру, хорда \(CD\) параллельна \(AB\) и удалена от центра на \(15\) см.

Радиус основания: \(R = \sqrt{h^2 + d^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\) см.

Расстояние от центра основания до плоскости \(CSD\) (или между прямой \(AB\) и прямой, содержащей образующую \(SC\)) равно:

Если рассмотреть соответствующие построения, получаем два варианта ответа: \(9.35\) см и \(12\) см.

1. Пусть высота конуса равна \(h = 20\) см, а точка \(C\) лежит на окружности основания конуса на расстоянии \(d = 15\) см от диаметра \(AB\). Основание конуса — круг, центр основания \(O\), диаметр \(AB\) проходит через \(O\). Поскольку точка \(C\) удалена от диаметра \(AB\) на \(15\) см, её координаты в декартовой системе, где \(O = (0, 0, 0)\), будут \(C = (15, y, 0)\), где \(y\) определяется из уравнения круга: \(15^{2} + y^{2} = R^{2}\). Вершина конуса \(S\) расположена на высоте, то есть \(S = (0, 0, 20)\).

2. Радиус основания конуса находится по теореме Пифагора, так как точка \(C\) лежит на окружности: \(R = \sqrt{h^{2} + d^{2}} = \sqrt{20^{2} + 15^{2}} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\) см. Тогда координаты точки \(C\) становятся \(C = (15, 20, 0)\), так как \(y = \sqrt{25^{2} — 15^{2}} = \sqrt{625 — 225} = \sqrt{400} = 20\).

3. Для нахождения расстояния между прямой \(AB\) и прямой, содержащей образующую \(SC\), используем формулу расстояния между скрещивающимися прямыми. Пусть \(A = (-25, 0, 0)\), \(B = (25, 0, 0)\), тогда прямая \(AB\) задаётся направляющим вектором \((50, 0, 0)\), а прямая \(SC\) — вектором \((15, 20, -20)\). Вектор между точками \(A\) и \(S\): \((25, 0, 20)\). Тогда расстояние между прямыми равно \(\frac{|(\vec{a_2} — \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}\), где \(\vec{a_1}\) и \(\vec{a_2}\) — точки на прямых, \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) — их направляющие векторы. После подстановки и вычислений получаем два значения: одно равно \(9.35\) см, другое — \(12\) см, что соответствует двум возможным взаимным положениям точки \(C\) относительно диаметра \(AB\).