ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания конуса и его образующая равны соответственно \(\frac{2}{3}\) см и 2 см. Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по боковой поверхности конуса, начало и конец которого совпадают с некоторой точкой окружности основания.

Радиус основания конуса \( r = \frac{2}{3} \) см, образующая \( l = 2 \) см.

Длина дуги основания на развёртке: \( 2\pi r = \frac{4\pi}{3} \).

Развёртка — сектор круга радиуса \( 2 \) см, угол сектора \( \varphi = \frac{2\pi}{3} \).

Кратчайший замкнутый путь — хорда сектора: \( d = 2l \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) см.

Радиус основания конуса равен \( r = \frac{2}{3} \) см, а длина образующей \( l = 2 \) см. Если развернуть боковую поверхность конуса, получится круговой сектор радиуса \( 2 \) см. Длина дуги, соответствующей основанию конуса на развёртке, вычисляется как \( 2\pi r \), то есть \( 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3} \) см. Полная длина окружности круга с радиусом \( 2 \) см равна \( 2\pi \cdot 2 = 4\pi \) см. Следовательно, угол сектора находится по отношению длины дуги к полной окружности: \( \frac{\frac{4\pi}{3}}{4\pi} = \frac{1}{3} \). Угол сектора равен \( \varphi = 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{3} \).

Для поиска кратчайшего замкнутого пути, начало и конец которого совпадают с точкой основания, рассматриваем геодезическую линию на боковой поверхности. В развёртке это будет хорда, соединяющая концы дуги сектора. Длина этой хорды вычисляется по формуле: \( d = 2l \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \), где \( l \) — радиус сектора, а \( \varphi \) — его угол. Подставляем значения: \( d = 2 \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) \). Угол \( \frac{2\pi}{6} \) равен \( \frac{\pi}{3} \), а \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Таким образом, длина кратчайшего замкнутого пути по боковой поверхности конуса будет равна \( d = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) см. Это и есть минимальная длина пути, который начинается и заканчивается в одной точке основания конуса и проходит только по боковой поверхности.