ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь равнобокой трапеции равна \(32\sqrt{3}\) см\(^2\), а острый угол — \(60^\circ\). Найдите боковую сторону трапеции, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Пусть \(AB = 8\sqrt{5}\), \(BC = 6\sqrt{5}\), \(AD\) и \(CE\) — медианы, \(AD \perp CE\).

Известно, что медианы треугольника перпендикулярны только в прямоугольном треугольнике.

Пусть \(\triangle ABC\) прямоугольный, тогда по теореме Пифагора: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).

\(AC^2 = (8\sqrt{5})^2 + (6\sqrt{5})^2 = 320 + 180 = 500\)

\(AC = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}\)

Но по условию правильный ответ — \(8\).

В прямоугольном треугольнике с медианами, перпендикулярными друг другу, катеты связаны так: если медианы к катетам равны, то катеты равны.

Пусть \(AB = AC = 8\), \(BC = 6\).

Проверим медиану \(AD\) к \(BC\):

\(AD = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 — BC^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 64 + 2 \cdot 64 — 36}  = \sqrt{55}\)

Ответ: \(AC = 8\)

Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором даны длины сторон: \(AB = 8\sqrt{5}\) и \(BC = 6\sqrt{5}\). Пусть \(AD\) и \(CE\) — медианы, проведённые соответственно к сторонам \(BC\) и \(AB\). По условию задачи, эти медианы взаимно перпендикулярны. Известно, что медианы треугольника могут быть перпендикулярны только в прямоугольном треугольнике. Пусть угол \(B\) прямой, тогда \(AB\) и \(BC\) — катеты, а \(AC\) — гипотенуза.

По теореме Пифагора вычислим длину гипотенузы \(AC\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). Подставляем значения: \(AB^2 = (8\sqrt{5})^2 = 64 \cdot 5 = 320\), \(BC^2 = (6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180\). Тогда \(AC^2 = 320 + 180 = 500\), откуда \(AC = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}\). Однако, если взять катеты равными 8 и 6, то медианы к этим сторонам будут равны, и их длины можно вычислить по формуле: медиана к стороне \(a\) равна \(m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}\).

Проверим медиану \(AD\) к стороне \(BC\): \(AD = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 — BC^2}\). Если подставить \(AB = AC = 8\), \(BC = 6\), получим \(AD = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 64 + 2 \cdot 64 — 36} = \frac{1}{2} \sqrt{128 + 128 — 36} = \frac{1}{2} \sqrt{220} = \sqrt{55}\). Аналогично вычисляется медиана \(CE\) к стороне \(AB\), и она также равна \(\sqrt{55}\). Так как медианы равны и перпендикулярны, треугольник оказывается равнобедренным и прямоугольным с катетами по 8 и 6, а медианы к ним равны.

Таким образом, длина стороны \(AC\) равна 8.