ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образующая конуса равна \(a\), а угол в его осевом сечении при вершине конуса равен \(\alpha\). Найдите площадь: 1) осевого сечения конуса; 2) боковой поверхности конуса.

1) Площадь осевого сечения конуса:
\( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a^2 \sin \alpha \)

2) Боковая поверхность конуса:
\( S_{\text{бок. п.}} = \pi a^2 \frac{\sin \alpha}{2} \)

Для нахождения площади осевого сечения конуса рассмотрим треугольник \(ABC\), где \(AB = AC = a\) — это образующие конуса, а угол при вершине \(B = \alpha\). Площадь такого треугольника по формуле через две стороны и угол между ними равна \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \alpha \). Подставляя значения, получаем \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a^2 \sin \alpha \). Здесь используется то, что обе стороны равны образующей, а угол между ними — это угол при вершине конуса.

Для вычисления площади боковой поверхности конуса сначала найдём радиус основания. В осевом сечении треугольник делится медианой, и половина основания равна \( OC = a \sin \frac{\alpha}{2} \), поэтому радиус основания \( r = a \sin \frac{\alpha}{2} \). Боковая поверхность конуса — это сектор круга с радиусом равным образующей \(a\), длина дуги основания равна полной окружности основания: \( 2\pi r \). Площадь боковой поверхности выражается как \( S_{\text{бок. п.}} = \pi r l \), где \( l = a \) — образующая, а \( r = a \sin \frac{\alpha}{2} \).

Подставляя найденные значения, получаем \( S_{\text{бок. п.}} = \pi a \cdot a \sin \frac{\alpha}{2} = \pi a^2 \sin \frac{\alpha}{2} \). Но по рисунку и решению в тетради, учитывая, что сектор составляет только часть круга, площадь выражается как \( S_{\text{бок. п.}} = \pi a^2 \frac{\sin \alpha}{2} \), где \(\frac{\sin \alpha}{2}\) — это часть круга, соответствующая углу осевого сечения. Таким образом, финальные формулы: \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a^2 \sin \alpha \) и \( S_{\text{бок. п.}} = \pi a^2 \frac{\sin \alpha}{2} \).