ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 8 см, а один из углов равен \(30^\circ\), вращается вокруг большего катета. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой \(8\) см и углом \(30^\circ\).

Катет, вокруг которого происходит вращение, можно найти по формуле:
\( \text{больший катет} = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \) см.

Площадь боковой поверхности конуса:
\( S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi \) см\(^2\).

1. Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна \(8\) см, а один из углов равен \(30^\circ\). В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Следовательно, меньший катет равен \( \frac{8}{2} = 4 \) см. Второй катет (больший) равен \(8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) см, но для задачи нужен именно тот катет, вокруг которого происходит вращение, а по условию это больший катет \(4\) см.

2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета образуется конус. Радиус основания конуса равен меньшему катету, то есть \(r = 4\) см, а образующая конуса равна гипотенузе, то есть \(l = 8\) см. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \pi r l \).

3. Подставляя найденные значения в формулу, получаем: \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi \) см\(^{2}\). Таким образом, площадь боковой поверхности конуса, который получается при вращении данного треугольника вокруг большего катета, составляет \(32\pi\) см\(^{2}\).