ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 15 см, а расстояние от центра основания до образующей конуса — 12 см. Найдите образующую и высоту конуса.

Дано: радиус основания конуса \( r = 15 \) см, расстояние от центра основания до образующей (апофема) \( OH = 12 \) см.

1. Найдём высоту конуса по теореме Пифагора:
В прямоугольном треугольнике \( OCH \): \( OC^2 = OH^2 + HC^2 \).
\( HC = \sqrt{OC^2 — OH^2} = \sqrt{15^2 — 12^2} = \sqrt{225 — 144} = \sqrt{81} = 9 \) см.

2. Найдём образующую конуса:
В прямоугольном треугольнике \( OBC \): \( OB^2 = OH^2 + HB^2 \).
\( HB = \frac{144}{9} = 16 \) см.
\( BC = 16 + 9 = 25 \) см.

3. Найдём длину образующей:
В треугольнике \( OBC \): \( BO^2 = BC^2 — OC^2 \).
\( BO = \sqrt{625 — 225} = \sqrt{400} = 20 \) см.

Ответ: высота конуса \( 9 \) см, образующая \( 20 \) см.

Рассмотрим задачу более подробно. Пусть дан конус с радиусом основания \( r = 15 \) см и расстоянием от центра основания до образующей (апофемой) \( OH = 12 \) см. Для решения задачи используем прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и апофемой. Обозначим точку \( O \) как центр основания, точку \( H \) как основание высоты, а точку \( C \) как точку на окружности основания, где пересекается высота. Тогда в треугольнике \( OHC \) по теореме Пифагора имеем: \( OC^{2} = OH^{2} + HC^{2} \). Подставляем значения: \( OC = 15 \), \( OH = 12 \), отсюда \( HC^{2} = OC^{2} — OH^{2} = 15^{2} — 12^{2} = 225 — 144 = 81 \). Следовательно, \( HC = \sqrt{81} = 9 \) см — это высота конуса.

Далее найдём длину образующей. Обозначим точку \( B \) на окружности основания так, что \( OB \) — образующая конуса. В треугольнике \( OBC \) снова воспользуемся теоремой Пифагора. Нам известно, что \( OH = 12 \) см, а \( HB \) — это расстояние от основания высоты до точки \( B \) на окружности. По решению на фото, \( HB = \frac{144}{9} = 16 \) см. Тогда длина основания треугольника \( BC = HB + HC = 16 + 9 = 25 \) см. Теперь найдём длину образующей \( BO \) по формуле: \( BO^{2} = BC^{2} — OC^{2} = 25^{2} — 15^{2} = 625 — 225 = 400 \), откуда \( BO = \sqrt{400} = 20 \) см.

Таким образом, мы последовательно нашли сначала высоту конуса, используя теорему Пифагора для треугольника, затем определили длину основания треугольника через дополнительные построения, и наконец вычислили длину образующей, также опираясь на свойства прямоугольного треугольника. Итоговые значения: высота конуса равна \( 9 \) см, а длина образующей \( 20 \) см.