ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота конуса равна \(\frac{4}{5}\) см, а расстояние от центра основания до середины образующей конуса — 6 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Высота конуса \(h = 4\sqrt{5}\), расстояние от центра основания до середины образующей \(OM = 6\).

Пусть \(r\) — радиус основания, \(l\) — длина образующей. По теореме Пифагора: \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\).

Расстояние \(OM = \frac{l}{2} = 6\), значит \(l = 12\).

Подставляем в формулу: \(12 = \sqrt{r^2 + (4\sqrt{5})^2}\), \(12 = \sqrt{r^2 + 80}\), \(144 = r^2 + 80\), \(r^2 = 64\), \(r = 8\).

Площадь полной поверхности: \(S = \pi r^2 + \pi r l = \pi \cdot 8^2 + \pi \cdot 8 \cdot 12 = 64\pi + 96\pi = 160\pi\).

Ответ: \(160\pi\,\text{см}^2\).

Дано, что высота конуса равна \(h = 4\sqrt{5}\) см, а расстояние от центра основания до середины образующей \(OM = 6\) см. Пусть радиус основания конуса равен \(r\), а длина образующей — \(l\). По определению, образующая конуса — это отрезок, соединяющий любую точку на окружности основания с вершиной конуса. Если рассмотреть середину образующей, то ее координаты будут \(\left(\frac{r}{2}, \frac{h}{2}\right)\) относительно центра основания, который примем за начало координат. Тогда расстояние от центра основания до середины образующей вычисляется по формуле: \(OM = \sqrt{\left(\frac{r}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}\).

Подставим известные значения: \(OM = 6\), \(h = 4\sqrt{5}\). Получаем \(6 = \sqrt{\left(\frac{r}{2}\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{5}}{2}\right)^2}\), что эквивалентно \(6 = \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{16 \cdot 5}{4}}\), а значит \(6 = \sqrt{\frac{r^2 + 80}{4}}\). Возводим обе части в квадрат: \(36 = \frac{r^2 + 80}{4}\), откуда \(144 = r^2 + 80\), следовательно \(r^2 = 64\), то есть \(r = 8\) см. Длина образующей находится по теореме Пифагора: \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12\) см.

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания равна \(\pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\) см². Боковая поверхность вычисляется как \(\pi r l = \pi \cdot 8 \cdot 12 = 96\pi\) см². Складываем: \(S = 64\pi + 96\pi = 160\pi\) см². Таким образом, ответ: \(160\pi\,\text{см}^2\).