ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 9.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — вершина конуса, точка \(O\) — центр его основания, точка \(A\) принадлежит основанию конуса, точка \(B\) принадлежит отрезку \(MO\) (рис. 9.10). Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с боковой поверхностью конуса.

Пусть точка \(B\) делит отрезок \(MO\) в отношении \(k:1\), где \(k < 1\). Прямая \(AB\) пересекает боковую поверхность конуса в точке \(C\), которая лежит на образующей \(MS\), проходящей через точку \(A\) основания.

Поскольку \(A\) принадлежит окружности основания, а \(B\) лежит на оси конуса, точка пересечения \(C\) будет находиться на прямой \(MA\), но вне основания. Параметрически точка \(C\) имеет координаты вида \(C = M + t(A — M)\), где \(t > 0\).

Находим \(t\) из условия, что расстояние от \(C\) до оси конуса равно расстоянию от \(A\) до оси, то есть \(C\) лежит на боковой поверхности. Получаем \(t = \frac{MB}{MA}\), где \(MB\) — расстояние от \(M\) до \(B\), а \(MA\) — расстояние от \(M\) до \(A\).

Ответ: точка пересечения прямой \(AB\) с боковой поверхностью конуса лежит на продолжении образующей \(MA\) вне основания на расстоянии \(t = \frac{MB}{MA}\) от вершины \(M\).

Рассмотрим конус с вершиной в точке \(M\), основание которого — круг с центром в точке \(O\). Пусть точка \(A\) лежит на окружности основания, а точка \(B\) — на отрезке \(MO\), соединяющем вершину \(M\) с центром основания \(O\). Прямая \(AB\) проходит через точку \(A\) основания и точку \(B\) внутри конуса. Нужно найти точку пересечения этой прямой с боковой поверхностью конуса.

Обозначим координаты точек: пусть \(M(0,0,h)\), \(O(0,0,0)\), \(A(r\cos\alpha, r\sin\alpha, 0)\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота конуса, \(\alpha\) — угол, определяющий положение точки \(A\) на окружности. Точка \(B\) лежит на оси \(MO\), её координаты можно записать как \(B(0,0,t_0)\), где \(0 < t_0 < h\). Прямая \(AB\) имеет параметрическое уравнение: \(x = r\cos\alpha \cdot s\), \(y = r\sin\alpha \cdot s\), \(z = t_0 (1 — s)\), где \(s\) — параметр, изменяющийся от 0 (в точке \(B\)) до 1 (в точке \(A\)).

Точка пересечения \(C\) с боковой поверхностью конуса должна удовлетворять уравнению поверхности конуса: \((x² + y²) = \frac{r²}{h²} (h — z)²\). Подставим координаты точки на прямой \(AB\): \(x = r\cos\alpha \cdot s\), \(y = r\sin\alpha \cdot s\), \(z = t_0 (1 — s)\). Получаем: \((r² s²) = \frac{r²}{h²} (h — t_0 + t_0 s)²\). Сократим на \(r²\): \(s² = \frac{1}{h²} (h — t_0 + t_0 s)²\). Возьмём корень: \(s = \frac{h — t_0 + t_0 s}{h}\). Переносим \(t_0 s\) влево: \(s h = h — t_0 + t_0 s\), \(s h — t_0 s = h — t_0\), \(s(h — t_0) = h — t_0\), \(s = 1\) при \(h \neq t_0\).

Таким образом, точка пересечения лежит на продолжении образующей \(MA\), проходящей через точку \(A\) основания, вне основания конуса. Ее координаты совпадают с координатами точки \(A\), но если продлить прямую \(MA\) дальше, то она пересечет боковую поверхность в точке с тем же направлением, но с большей \(z\)-координатой, пока не выйдет за пределы конуса. Таким образом, единственная точка пересечения — это точка \(A\), если \(B\) не совпадает с \(O\); если \(B\) между \(M\) и \(O\), пересечение будет на образующей, проходящей через \(A\), в положении, определяемом выбранным параметром \(s\).