ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Вопросы Параграф 13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Что называют сферой?
2. Что называют радиусом сферы? диаметром сферы?
3. Чему равен диаметр сферы, если её радиус равен \(r\)?
4. Что называют шаром?
5. Что называют диаметром шара?
6. Какое уравнение является уравнением сферы с центром в точке \(A (a; b; c)\) и радиусом \(r\)?
7. Какое неравенство задаёт шар с центром в точке \(A (a; b; c)\) и радиусом \(r\)?

1. Пусть \(R\) — радиус сферы, \(d\) — расстояние от центра сферы до плоскости. Тогда:
Если \(d > R\), плоскость не пересекает сферу.
Если \(d = R\), плоскость касается сферы.
Если \(d < R\), плоскость пересекает сферу.

2. При \(d < R\) сечение — окружность с радиусом \(\sqrt{R^2 — d^2}\).

3. Большой круг — сечение сферы плоскостью, проходящей через центр, радиус круга равен \(R\).

4. Касательная плоскость касается сферы в одной точке, то есть \(d = R\).

5. Радиус в точке касания перпендикулярен касательной плоскости.

6. Касательная прямая касается сферы в одной точке.

7. Плоскость является касательной, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу: \(d = R\).

8. Сферы касаются внешним образом, если расстояние между центрами равно сумме радиусов: \(d = R_1 + R_2\).
Сферы касаются внутренним образом, если расстояние между центрами равно разности радиусов: \(d = |R_1 — R_2|\).

1. Рассмотрим сферу с радиусом \(R\) и центр которой находится в точке \(O\). Пусть плоскость расположена так, что расстояние от центра сферы до плоскости равно \(d\). В зависимости от величины \(d\) относительно \(R\) выделяют три случая взаимного расположения сферы и плоскости. Если \(d > R\), то плоскость находится дальше, чем радиус сферы, и не пересекает её поверхность, то есть общих точек нет. Если \(d = R\), плоскость касается сферы в одной точке, называемой точкой касания. При \(d < R\) плоскость пересекает сферу, образуя сечение.

В случае пересечения при \(d < R\) сечение представляет собой окружность. Радиус этой окружности можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы, расстоянием \(d\) и радиусом сечения \(r\). По теореме Пифагора: \(r = \sqrt{R^{2} — d^{2}}\). Это объясняет, почему при уменьшении \(d\) радиус сечения увеличивается, достигая максимума, когда плоскость проходит через центр сферы.

Если плоскость проходит через центр сферы, то \(d = 0\), и сечение — это окружность с радиусом, равным радиусу сферы \(R\). Такая окружность называется большим кругом. Большой круг является максимальным сечением сферы плоскостью и играет важную роль в геометрии сферы.

2. Если расстояние \(d\) от центра сферы до плоскости меньше радиуса \(R\), то плоскость пересекает сферу, и сечение образует окружность. Это происходит, потому что плоскость проходит через внутреннюю часть сферы, а не только касается её поверхности. Радиус этой окружности можно вычислить по формуле \(r = \sqrt{R^{2} — d^{2}}\), где \(r\) — радиус сечения.

Эта формула следует из того, что расстояние \(d\) является катетом прямоугольного треугольника, в котором гипотенузой служит радиус сферы \(R\), а другой катет — радиус окружности сечения \(r\). Таким образом, сечение всегда является окружностью, если плоскость не касается сферы и не лежит вне её.

Если расстояние \(d\) стремится к нулю, то радиус сечения становится равным \(R\), то есть плоскость проходит через центр сферы, и сечение — это большой круг. Если \(d\) стремится к \(R\), то радиус сечения стремится к нулю, и плоскость становится касательной.

3. Большим кругом шара называют окружность, которая получается при пересечении сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Центр большого круга совпадает с центром сферы, а радиус большого круга равен радиусу сферы \(R\).

Большой круг является максимальным по размеру сечением сферы, поскольку любая другая плоскость, не проходящая через центр, образует меньшую окружность. Большие круги играют важную роль в геометрии и навигации, например, в определении кратчайшего пути на поверхности Земли.

Таким образом, большой круг — это особый случай окружности на сфере, который имеет максимальный радиус и лежит в плоскости, проходящей через центр сферы.

4. Плоскость называется касательной к сфере, если она касается сферы в ровно одной точке. Это возможно только тогда, когда расстояние \(d\) от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы \(R\), то есть \(d = R\).

В этом случае плоскость не пересекает сферу, но имеет с ней одну общую точку — точку касания. Такая плоскость «касается» сферы, не проникая внутрь. Точка касания — единственная общая точка сферы и плоскости.

Касательная плоскость играет важную роль в геометрии, так как она задаёт направление поверхности сферы в точке касания и используется для определения нормали к сфере.

5. Радиус, проведённый из центра сферы в точку касания с касательной плоскостью, перпендикулярен этой плоскости. Это свойство следует из определения касательной плоскости и геометрии сферы.

Поскольку касательная плоскость касается сферы в одной точке, радиус, соединяющий центр сферы и точку касания, является нормалью к плоскости. То есть если \(r\) — радиус, а плоскость задана уравнением, то в точке касания вектор радиуса перпендикулярен плоскости.

Это свойство используется при вычислении углов и построении касательных линий и плоскостей к сфере.

6. Касательной к сфере называют прямую, которая имеет с поверхностью сферы ровно одну общую точку. Такая прямая «касается» сферы, не проходя через её внутреннюю часть.

Если рассмотреть радиус сферы, проведённый к точке касания, то касательная прямая будет перпендикулярна этому радиусу. Это аналогично касательной плоскости, но в случае прямой.

Касательные прямые важны для изучения касательных и нормалей к сфере, а также для решения задач на касание и пересечение.

7. Плоскость является касательной к сфере, если расстояние \(d\) от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы \(R\). Это условие записывается как \(d = R\).

Если \(d < R\), плоскость пересекает сферу. Если \(d > R\), плоскость не имеет общих точек со сферой. Только при \(d = R\) плоскость касается сферы в одной точке.

Это условие позволяет однозначно определить касательную плоскость и найти её уравнение, исходя из положения центра и радиуса сферы.

8. Две сферы касаются внешним образом, если расстояние \(d\) между их центрами равно сумме радиусов: \(d = R_1 + R_2\). В этом случае сферы соприкасаются снаружи в одной точке.

Если расстояние между центрами равно разности радиусов: \(d = |R_1 — R_2|\), то сферы касаются внутренним образом — одна сфера находится внутри другой, и они касаются в одной точке изнутри.

Эти условия определяют виды касания сфер и важны для изучения их взаимного расположения и взаимодействия.