ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Вопросы Параграф 14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Какой многогранник называют вписанным в сферу?
2. В каком случае около многогранника можно описать сферу?
3. В каком случае призму можно вписать в сферу?
4. Где расположен центр сферы, описанной около правильной призмы?
5. В каком случае пирамиду можно вписать в сферу?
6. Где расположен центр сферы, описанной около правильной пирамиды?

1. Многогранник называют вписанным в сферу, если все его вершины лежат на поверхности этой сферы.

2. Около многогранника можно описать сферу, если все его вершины лежат на одной сфере, то есть существует сфера, проходящая через все вершины многогранника.

3. Призму можно вписать в сферу, если её основания — правильные многоугольники, и высота призмы такова, что все вершины лежат на сфере.

4. Центр сферы, описанной около правильной призмы, расположен на оси симметрии призмы посередине между центрами оснований.

5. Пирамиду можно вписать в сферу, если все её вершины лежат на поверхности сферы.

6. Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, совпадает с точкой пересечения оси симметрии пирамиды и сферы, проходящей через все вершины пирамиды.

1. Многогранник называют вписанным в сферу, если все его вершины лежат на поверхности одной сферы. Это означает, что существует сфера с центром \(O\) и радиусом \(R\), для которой расстояние от \(O\) до каждой вершины многогранника равно \(R\). Таким образом, вершины удовлетворяют уравнению сферы \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 + (z — z_0)^2 = R^2\), где \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты центра сферы. Вписанность гарантирует, что многогранник можно «вложить» внутрь сферы так, что все вершины касаются сферы, а остальные точки находятся внутри или на поверхности.

Для проверки вписанности многогранника обычно анализируют координаты вершин и проверяют, существует ли единый центр и радиус, подходящие под все вершины. Если такой центр и радиус найдены, то многогранник является вписанным. Это свойство важно для изучения симметрии и геометрических характеристик многогранника.

Вписанная сфера часто используется в задачах по геометрии для нахождения расстояний, углов и других параметров, так как наличие общей сферы упрощает многие вычисления и позволяет использовать свойства сферы в анализе многогранника.

2. Около многогранника можно описать сферу, если все его вершины лежат на одной сфере. Это условие эквивалентно тому, что существует сфера, проходящая через все вершины многогранника. В этом случае центр сферы называют центром описанной сферы, а радиус — радиусом описанной сферы. Для существования описанной сферы необходимо, чтобы вершины не были расположены в одной плоскости (иначе сфера не будет уникальной).

Нахождение описанной сферы сводится к решению системы уравнений, задающих равенство расстояний от центра сферы до каждой вершины. Для \(n\) вершин с координатами \((x_i, y_i, z_i)\) центр \(O(x_0, y_0, z_0)\) и радиус \(R\) удовлетворяют уравнениям \((x_i — x_0)^2 + (y_i — y_0)^2 + (z_i — z_0)^2 = R^2\) для всех \(i\). Решение этой системы даёт параметры описанной сферы.

Наличие описанной сферы позволяет использовать её свойства для анализа многогранника, например, для вычисления углов между гранями, определения симметрии и других важных характеристик.

3. Призму можно вписать в сферу, если её основания — правильные многоугольники, а высота призмы выбрана так, что все вершины лежат на поверхности сферы. В частности, если основание правильное, то его вершины лежат на окружности, и если высота равна диаметру описанной окружности основания, то вершины верхнего основания также будут лежать на той же сфере.

Центр описанной сферы для правильной призмы лежит на оси симметрии призмы, проходящей через центры оснований. Радиус сферы равен расстоянию от центра до любой вершины основания или верхнего основания. Если высота призмы равна \(h\), а радиус описанной окружности основания \(r\), то радиус сферы \(R\) и высота связаны условием \(h^2 + r^2 = R^2\).

Таким образом, вписанная сфера существует только при строгом соотношении высоты и радиуса основания, что обеспечивает расположение всех вершин на поверхности сферы.

4. Центр сферы, описанной около правильной призмы, расположен на оси симметрии призмы, то есть на прямой, проходящей через центры оснований. Он находится посередине между центрами оснований, если призма правильная и высота равна диаметру описанной окружности основания.

Если обозначить центр нижнего основания как \(O_1\), верхнего — \(O_2\), то центр сферы \(O\) будет точкой середины отрезка \(O_1O_2\), то есть \(O = \frac{O_1 + O_2}{2}\). Радиус сферы равен расстоянию от \(O\) до любой вершины основания или верхнего основания.

Такое расположение центра обусловлено симметрией призмы и равенством расстояний от центра сферы до всех вершин, что необходимо для описания сферы.

5. Пирамиду можно вписать в сферу, если все её вершины лежат на поверхности сферы. Это возможно, если существует сфера, проходящая через вершину пирамиды и все вершины основания. Для правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, и вершина лежит на оси симметрии основания.

Условие вписанности сводится к тому, что расстояния от центра сферы до всех вершин равны. Если \(R\) — радиус сферы, \(O\) — её центр, а \(A_i\) — вершины основания, \(V\) — вершина пирамиды, то выполняется \(OA_i = OV = R\).

Это условие позволяет определить положение вершины пирамиды по отношению к основанию, чтобы все вершины лежали на сфере.

6. Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, совпадает с точкой пересечения оси симметрии пирамиды и сферы, проходящей через все вершины. Ось симметрии проходит через центр основания и вершину пирамиды.

Если обозначить центр основания как \(O_b\), вершину пирамиды как \(V\), то центр сферы \(O\) лежит на отрезке \(O_bV\) и определяется из равенства расстояний \(OA_i = OV = R\) для всех вершин основания \(A_i\). Это позволяет найти координаты центра сферы и её радиус.

Такое расположение центра обусловлено симметрией правильной пирамиды и необходимостью равенства расстояний до всех вершин для существования описанной сферы.