ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Вопросы Параграф 15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Какой многогранник называют описанным около сферы?
2. В какой многогранник можно вписать сферу?
3. Каким свойством должны обладать биссекторы двугранных углов при рёбрах выпуклого многогранника, чтобы в этом многогранник можно было вписать сферу?
4. Где расположен центр сферы, вписанной в правильную пирамиду?
5. Какими свойствами должны обладать основание и высота прямой призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?
6. Каким свойством должна обладать высота правильной призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?
7. Какая точка является центром шара, вписанного в правильную призму?

1. Многогранник называют описанным около сферы, если все его вершины лежат на сфере.

2. Сферу можно вписать в многогранник, если она касается всех его граней.

3. Биссекторы двугранных углов при рёбрах должны пересекаться в одной точке, чтобы можно было вписать сферу. Это означает, что биссекторы равны по длине и углам, обеспечивая касание сферы со всеми гранями.

4. Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, расположен в точке пересечения биссекторов двугранных углов при рёбрах, то есть внутри пирамиды.

5. Основание и высота прямой призмы должны быть такими, чтобы основание было описанным около круга, а высота равна диаметру вписанной сферы.

6. Высота правильной призмы должна быть равна диаметру сферы, вписанной в её основание, чтобы сфера могла касаться оснований и боковых граней.

7. Центром шара, вписанного в правильную призму, является точка пересечения биссекторов двугранных углов при рёбрах призмы.

1. Многогранник называют описанным около сферы, если все его вершины лежат на поверхности этой сферы. Это значит, что сфера проходит через каждую вершину многогранника, и таким образом сфера является описанной вокруг многогранника. Геометрически это условие гарантирует, что расстояние от центра сферы до каждой вершины одинаково, то есть радиус сферы одинаков для всех вершин. Если обозначить центр сферы как \(O\), а вершины многогранника как \(A_i\), то выполняется равенство \(OA_1 = OA_2 = \ldots = OA_n = R\), где \(R\) — радиус описанной сферы.

Такое определение важно для изучения свойств многогранников, так как позволяет использовать сферу для анализа их геометрии и симметрии. Описанная сфера помогает определить, например, равенство сторон и углов в правильных многогранниках, а также служит основой для построения вписанных фигур.

Кроме того, наличие описанной сферы у многогранника часто связано с его правильностью или симметрией. В частности, для правильных многогранников, таких как тетраэдр, куб или октаэдр, описанная сфера существует и уникальна, что упрощает вычисления и доказательства различных геометрических свойств.

2. Сферу можно вписать в многогранник, если она касается всех его граней. Это означает, что сфера лежит внутри многогранника и при этом касается каждой плоской грани в одной точке. Такое условие гарантирует, что расстояние от центра сферы до каждой грани одинаково и равно радиусу вписанной сферы. Если обозначить центр сферы как \(I\), а плоскости граней как \(\alpha_i\), то расстояния \(d(I, \alpha_i)\) равны для всех граней: \(d(I, \alpha_1) = d(I, \alpha_2) = \ldots = d(I, \alpha_m) = r\), где \(r\) — радиус вписанной сферы.

Вписанная сфера является внутренней границей многогранника и служит для анализа его внутренней структуры. Наличие вписанной сферы важно для задач оптимизации и измерения симметрии, а также используется в доказательствах теорем о касательных сферах.

Кроме того, вписанная сфера помогает определить центр тяжести многогранника и может использоваться для построения других геометрических объектов, таких как описанные и средние сферы.

3. Для того чтобы в выпуклый многогранник можно было вписать сферу, биссекторы двугранных углов при рёбрах должны пересекаться в одной точке. Двугранный угол образован двумя смежными гранями, а его биссектор — это плоскость, делящая угол пополам. Если рассмотреть все рёбра многогранника и построить биссекторы соответствующих двугранных углов, то условие вписанности сферы требует, чтобы все эти биссекторы имели общую точку пересечения.

Эта точка пересечения и будет центром вписанной сферы. Геометрически это означает, что сфера касается всех граней многогранника, поскольку центр сферы находится на одинаковом расстоянии от всех плоскостей граней. Такое условие является необходимым и достаточным для существования вписанной сферы.

Важность этого свойства заключается в том, что оно связывает геометрию многогранника с понятием касательной сферы и позволяет использовать методы аналитической геометрии для решения задач о вписанных сферах.

4. Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, расположен в точке пересечения биссекторов двугранных углов при рёбрах пирамиды. Правильная пирамида имеет основание в виде правильного многоугольника и равные боковые ребра. Биссекторы двугранных углов при рёбрах — это плоскости, которые делят угол между боковой гранью и основанием пополам.

Центр вписанной сферы находится внутри пирамиды и равномерно удалён от всех граней, что обеспечивает касание сферы с каждой гранью. Если обозначить высоту пирамиды как \(h\), а радиус вписанной сферы как \(r\), то центр сферы находится на высоте, где выполняется условие касания со всеми боковыми и основанием.

Это положение центра важно для вычисления параметров пирамиды, связанных с её вписанностью и симметрией, и используется при решении задач на нахождение радиусов и объёмов.

5. Для того чтобы в прямую призму можно было вписать сферу, основание призмы должно быть описанным около круга, то есть основание должно иметь вписанную окружность. Это означает, что все стороны основания касаются одной и той же окружности. Высота призмы при этом должна равняться диаметру вписанной сферы, чтобы сфера касалась как оснований, так и боковых граней.

Если обозначить радиус вписанной окружности основания как \(r\), а высоту призмы как \(h\), то для вписанной сферы должно выполняться \(h = 2r\). Такое соотношение обеспечивает, что сфера касается верхнего и нижнего оснований, а также всех боковых граней призмы.

Это условие важно для геометрического моделирования и проектирования, где требуется обеспечить касание сферы с многогранником, а также используется в теории многогранников для классификации и изучения их свойств.

6. Высота правильной призмы должна быть равна диаметру сферы, вписанной в её основание. Правильная призма имеет основание в виде правильного многоугольника с вписанной окружностью радиуса \(r\). Для того чтобы сфера могла касаться как оснований, так и боковых граней, высота призмы \(h\) должна удовлетворять условию \(h = 2r\).

Это связано с тем, что сфера должна помещаться между двумя основаниями и касаться боковых граней, которые являются прямыми плоскостями. Если высота будет меньше или больше, сфера не сможет касаться всех граней одновременно.

Такое условие позволяет определить точные размеры правильной призмы для вписанной сферы и используется при проектировании и анализе многогранных тел.

7. Центром шара, вписанного в правильную призму, является точка пересечения биссекторов двугранных углов при рёбрах призмы. Эти биссекторы — плоскости, делящие углы между боковыми гранями и основаниями пополам. Их пересечение определяет точку, которая равноудалена от всех граней призмы.

Эта точка находится внутри призмы и является центром вписанной сферы, которая касается всех граней. Если обозначить центр как \(I\), то расстояния от \(I\) до всех граней равны радиусу вписанной сферы \(r\).

Определение центра через биссекторы важно для вычисления параметров призмы и для доказательства существования вписанной сферы в правильной призме.