ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Вопросы Параграф 16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Какой цилиндр называют вписанным в сферу?
2. Какая точка является центром сферы, описанной около цилиндра?
3. Какой конус называют вписанным в сферу?
4. Где расположен центр сферы, описанной около конуса?
5. Какой усечённый конус называют вписанным в сферу?
6. Где расположен центр сферы, описанной около усеченного конуса?

1. Цилиндр называют вписанным в сферу, если он полностью находится внутри сферы и касается её поверхности.

2. Центр сферы, описанной около цилиндра, совпадает с центром цилиндра, так как сфера должна касаться цилиндра по его боковой поверхности и основаниям.

3. Конический конус называют вписанным в сферу, если вершина конуса и основание касаются сферы, а конус полностью находится внутри сферы.

4. Центр сферы, описанной около конуса, расположен на оси конуса, обычно в середине между вершиной и центром основания.

5. Усечённый конус называют вписанным в сферу, если он полностью содержится внутри сферы и обе его основания касаются сферы.

6. Центр сферы, описанной около усечённого конуса, находится на оси усечённого конуса, обычно между центрами верхнего и нижнего оснований.

1. Цилиндр называют вписанным в сферу, если вся его поверхность и объём находятся внутри сферы, а сама сфера касается цилиндра по его боковой поверхности и двум основаниям. Это означает, что радиус сферы равен расстоянию от центра сферы до любой точки на поверхности цилиндра. При этом высота цилиндра и радиус основания связаны с радиусом сферы через соотношение \( R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 \), где \( R \) — радиус сферы, \( r \) — радиус основания цилиндра, \( h \) — высота цилиндра.

Центр сферы, описанной около цилиндра, совпадает с серединой оси цилиндра, так как сфера должна равномерно охватывать цилиндр со всех сторон. Таким образом, центр сферы находится на оси цилиндра на расстоянии \( \frac{h}{2} \) от каждого основания. Это позволяет сфере касаться цилиндра по верхнему и нижнему основанию, а также по боковой поверхности.

Это расположение центра гарантирует, что сфера касается цилиндра в трёх местах: двух основаниях и боковой поверхности. Если центр сместить, касание будет нарушено, и цилиндр перестанет быть вписанным.

2. Конус называют вписанным в сферу, если вершина конуса и его основание касаются сферы, а весь конус полностью содержится внутри сферы. При этом радиус сферы и высота конуса связаны через формулу \( R^2 = r^2 + h^2 \), где \( r \) — радиус основания конуса, а \( h \) — высота конуса.

Центр сферы, описанной около конуса, находится на оси конуса, обычно между вершиной и центром основания. Для точного определения центра можно использовать усреднение координат вершины и центра основания, то есть центр сферы находится на расстоянии \( \frac{h}{2} \) от основания вдоль оси конуса. Это обеспечивает касание сферы с вершиной и основанием конуса.

Такое расположение центра сферы гарантирует, что сфера будет касаться конуса в двух точках — вершине и основании, а также охватывать весь объём конуса, делая конус вписанным.

3. Усечённый конус называют вписанным в сферу, если он полностью содержится внутри сферы, при этом обе его основания касаются сферы. Усечённый конус получается отрезанием верхней части конуса плоскостью, параллельной основанию.

Центр сферы, описанной около усечённого конуса, расположен на оси усечённого конуса между центрами верхнего и нижнего оснований. Расстояния от центра сферы до каждого основания равны радиусам соответствующих оснований, что обеспечивает касание сферы с обоими основаниями.

Таким образом, центр сферы находится на оси усечённого конуса на таком расстоянии \( d \), что выполняются условия \( R^2 = r_1^2 + d_1^2 \) и \( R^2 = r_2^2 + d_2^2 \), где \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы верхнего и нижнего оснований, а \( d_1 \) и \( d_2 \) — расстояния от центра сферы до соответствующих оснований.

4. Центр сферы, описанной около конуса, расположен на оси конуса, так как конус обладает осевой симметрией. Для сферы, касающейся вершины и основания конуса, центр должен находиться на отрезке, соединяющем вершину \(V\) и центр основания \(O\). Если высота конуса равна \(h\), а радиус основания \(r\), то расстояния от центра сферы \(C\) до вершины и основания должны быть равны: \(CV = CO = R\), где \(R\) — радиус сферы.

Из условия равенства расстояний следует, что точка \(C\) делит отрезок \(VO\) в отношении, которое можно найти из уравнения: \(CV = CO\). Если взять ось конуса за ось координат с началом в вершине, то координаты центра основания будут \( (0, 0, h) \), а координаты центра сферы будут \( (0, 0, x) \). Тогда из равенства расстояний получаем уравнение: \(x = h — x\), откуда \(x = \frac{h}{2}\). Таким образом, центр сферы находится посередине между вершиной и основанием конуса.

Это положение центра обеспечивает, что сфера касается конуса в вершине и по окружности основания, а конус полностью вписан в сферу.

5. Усечённый конус называют вписанным в сферу, если он полностью лежит внутри сферы и обе его основания касаются сферы. Усечённый конус — это часть конуса, отрезанная плоскостью, параллельной основанию, с радиусами оснований \(r_1\) и \(r_2\) и высотой \(h\).

Центр сферы, описанной около усечённого конуса, находится на оси симметрии усечённого конуса, так как сфера должна касаться обеих оснований. Пусть центры нижнего и верхнего оснований находятся в точках \(O_1\) и \(O_2\), тогда центр сферы \(C\) лежит на отрезке \(O_1 O_2\) и удовлетворяет условию равенства расстояний: \(C O_1 = C O_2 = R\), где \(R\) — радиус сферы.

Если обозначить длину отрезка \(O_1 O_2\) как \(h\), то координата центра сферы \(C\) на оси конуса определяется из условия равенства расстояний к основаниям. Центр сферы находится в точке, делящей отрезок \(O_1 O_2\) пополам, если радиусы оснований и высота удовлетворяют этому условию. Таким образом, \(C\) находится на оси усечённого конуса между основаниями, обеспечивая касание сферы с обоими основаниями и полное расположение усечённого конуса внутри сферы.

6. Центр сферы, описанной около усечённого конуса, расположен на оси симметрии усечённого конуса, поскольку сфера должна касаться верхнего и нижнего оснований. Для этого центр сферы находится на отрезке, соединяющем центры оснований усечённого конуса. Обозначим центры оснований как \(O_1\) и \(O_2\), а центр сферы как \(C\).

Из условия касания следует, что расстояния от центра сферы до каждого основания равны: \(C O_1 = C O_2 = R\), где \(R\) — радиус сферы. Это значит, что точка \(C\) является серединой отрезка \(O_1 O_2\), если радиусы оснований и высота усечённого конуса позволяют равенство расстояний. Таким образом, центр сферы находится на оси усечённого конуса, между основаниями, и обеспечивает касание сферы с обоими основаниями.

Такое расположение центра сферы гарантирует, что усечённый конус полностью вписан в сферу, касаясь её поверхности в двух основаниях.