ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Вопросы Параграф 17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Какой цилиндр называют описанным около сферы?
2. В каком случае в цилиндр можно вписать сферу?
3. Какая точка является центром сферы, вписанной в цилиндр?
4. Чему равен радиус сферы, вписанной в цилиндр?
5. Какой конус называют описанным около сферы?
6. Где расположен центр сферы, вписанной в конус?
7. Какой усечённый конус называют описанным около сферы?
8. Где расположен центр сферы, вписанной в усечённый конус?

1. Цилиндр называют описанным около сферы, если сфера касается боковой поверхности цилиндра и его оснований.

2. В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна диаметру сферы, то есть \(h = 2r\), где \(r\) — радиус сферы.

3. Центром сферы, вписанной в цилиндр, является точка пересечения оси цилиндра и середины высоты цилиндра.

4. Радиус сферы, вписанной в цилиндр, равен радиусу основания цилиндра: \(r_{\text{сферы}} = r_{\text{цилиндра}}\).

5. Конический конус называют описанным около сферы, если сфера касается боковой поверхности конуса и его основания.

6. Центр сферы, вписанной в конус, расположен на оси конуса на расстоянии от вершины, равном \(r \cdot \frac{h}{l}\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота конуса, \(l\) — образующая конуса.

7. Усечённый конус называют описанным около сферы, если сфера касается боковых поверхностей усечённого конуса и его оснований.

8. Центр сферы, вписанной в усечённый конус, расположен на оси усечённого конуса между основаниями, где расстояния до оснований пропорциональны радиусам оснований.

1. Цилиндр называют описанным около сферы, если сфера касается всех трёх поверхностей цилиндра: двух оснований и боковой поверхности. Это значит, что сфера вписана в цилиндр, при этом касание происходит в точках, где сфера соприкасается с кругами оснований и с цилиндрической боковой поверхностью. Для этого радиус сферы должен совпадать с радиусом основания цилиндра, а высота цилиндра должна обеспечивать касание сферы с верхним и нижним основанием.

Высота цилиндра при этом равна диаметру сферы, то есть \( h = 2r \), где \( r \) — радиус сферы. Если высота цилиндра больше или меньше, сфера либо не коснётся одного из оснований, либо не будет касаться боковой поверхности. Таким образом, условие \( h = 2r \) является необходимым для описанного цилиндра вокруг сферы.

Центр сферы при этом расположен на оси цилиндра ровно посередине между основаниями, то есть на расстоянии \( r \) от каждого основания. Это позволяет сфере касаться обоих оснований и боковой поверхности одновременно.

2. В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна диаметру сферы, то есть \( h = 2r \). При этом радиус сферы равен радиусу основания цилиндра, чтобы сфера касалась боковой поверхности. Вписанная сфера касается цилиндра по внутренней поверхности, а её центр находится на оси цилиндра.

Если высота цилиндра меньше диаметра сферы, сфера не сможет коснуться обоих оснований, а если больше — сфера не коснётся одного из оснований. Поэтому точное равенство высоты цилиндра диаметру сферы является условием вписанности.

Центр сферы расположен на оси цилиндра на равном расстоянии от нижнего и верхнего оснований, то есть в середине высоты цилиндра. Это обеспечивает равномерное касание сферы с обеими основаниями и боковой поверхностью.

3. Центром сферы, вписанной в цилиндр, является точка пересечения оси цилиндра и середины высоты цилиндра. Это связано с тем, что сфера должна касаться обоих оснований и боковой поверхности, а для этого её центр должен находиться на оси симметрии цилиндра.

Положение центра строго посередине по высоте обеспечивает равные расстояния до верхнего и нижнего оснований, равные радиусу сферы. Это гарантирует касание сферы с основаниями.

Кроме того, центр сферы находится на оси цилиндра, что обеспечивает касание сферы с боковой поверхностью, так как радиус сферы совпадает с радиусом основания цилиндра.

4. Радиус сферы, вписанной в цилиндр, равен радиусу основания цилиндра, то есть \( r_{\text{сферы}} = r_{\text{цилиндра}} \). Это обусловлено тем, что сфера должна касаться боковой поверхности цилиндра, которая является цилиндрической поверхностью с радиусом основания.

Если радиус сферы будет меньше радиуса основания, сфера не коснётся боковой поверхности, а если больше — сфера не поместится внутри цилиндра. Следовательно, радиусы должны совпадать.

Также радиус сферы связан с высотой цилиндра через условие \( h = 2r \), что обеспечивает касание сферы с обоими основаниями цилиндра.

5. Конический конус называют описанным около сферы, если сфера касается боковой поверхности конуса и его основания. Это означает, что сфера вписана в конус так, что она касается основания конуса в одной точке и боковой поверхности по касательной линии.

Радиус сферы и её положение зависят от параметров конуса: радиуса основания \( r \), высоты \( h \) и образующей \( l \). Центр сферы находится на оси конуса на расстоянии от вершины, которое вычисляется как \( r \cdot \frac{h}{l} \).

Это положение центра обеспечивает касание сферы с основанием и боковой поверхностью конуса. Если центр будет смещён, касание нарушится.

6. Центр сферы, вписанной в конус, расположен на оси конуса на расстоянии от вершины, равном \( r \cdot \frac{h}{l} \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса, \( l \) — образующая конуса. Это положение определяется геометрией касания сферы с боковой поверхностью и основанием конуса.

Такое расположение центра гарантирует, что сфера касается основания конуса в точке, лежащей на оси, и боковой поверхности по касательной. Центр находится внутри конуса, на оси симметрии.

Если изменить положение центра, сфера либо не коснётся основания, либо не будет касаться боковой поверхности, нарушая условие вписанности.

7. Усечённый конус называют описанным около сферы, если сфера касается боковых поверхностей усечённого конуса и его оснований. Усечённый конус образуется отрезанием верхней части конуса параллельно основанию, поэтому у него два основания с разными радиусами.

Сфера при этом касается обеих оснований и боковых поверхностей, что требует точного выбора радиуса сферы и её центра. Радиус сферы должен быть таким, чтобы касаться обеих оснований и боковой поверхности.

Положение центра сферы при этом находится на оси усечённого конуса между основаниями, чтобы обеспечить касание со всеми поверхностями.

8. Центр сферы, вписанной в усечённый конус, расположен на оси усечённого конуса между основаниями, где расстояния до оснований пропорциональны радиусам оснований. Это условие вытекает из геометрии касания сферы с двумя круглыми основаниями разного радиуса.

Если радиусы оснований равны \( r_1 \) и \( r_2 \), а высота усечённого конуса равна \( h \), то центр сферы находится на расстоянии \( x \) от нижнего основания, где \( x \) вычисляется из пропорции \( \frac{x}{h-x} = \frac{r_1}{r_2} \).

Такое расположение центра обеспечивает равновесное касание сферы с обеими основаниями и боковой поверхностью усечённого конуса.