ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Вопросы Параграф 20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. По каким формулам вычисляют объём конуса?
2. По каким формулам вычисляют объём усечённого конуса?
3. По каким формулам вычисляют объём цилиндра?
4. По какой формуле вычисляют объём шара?
5. По какой формуле вычисляют объём шарового сегмента?
6. Как можно вычислить объём шарового слоя?
7. По какой формуле вычисляют объём шарового сектора?

1. Объём конуса вычисляют по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h \), где \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания, \( h \) — высота.

2. Объём усечённого конуса вычисляют по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) \), где \( R \) и \( r \) — радиусы оснований, \( h \) — высота.

3. Объём цилиндра вычисляют по формуле \( V = S_{\text{осн}} h = \pi R^2 h \), где \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота.

4. Объём шара вычисляют по формуле \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \), где \( R \) — радиус шара.

5. Объём шарового сегмента вычисляют по формуле \( V = \frac{\pi h^2}{3} (3R — h) \), где \( R \) — радиус шара, \( h \) — высота сегмента.

6. Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов двух шаровых сегментов или по формуле \( V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + 3b^2 + h^2) \), где \( a \) и \( b \) — радиусы оснований слоёв, \( h \) — высота слоя.

7. Объём шарового сектора вычисляют по формуле \( V = \frac{2\pi R^2 h}{3} \), где \( R \) — радиус шара, \( h \) — высота сектора.

1. Объём конуса рассчитывается по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h \), где \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания, а \( h \) — высота конуса. Основание конуса обычно представляет собой круг, площадь которого равна \( \pi R^2 \), где \( R \) — радиус основания. Подставляя это в формулу, получаем \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \). Эта формула отражает то, что объём конуса составляет треть объёма цилиндра с таким же основанием и высотой. Это объясняется тем, что конус сжимается к вершине, уменьшая объём по сравнению с цилиндром.

Высота \( h \) измеряется перпендикулярно к плоскости основания, то есть это кратчайшее расстояние от вершины конуса до основания. При вычислении объёма важно точно знать высоту и радиус основания, так как ошибка в этих параметрах существенно повлияет на результат. Формула универсальна для всех конусов, независимо от их ориентации, если правильно измерять высоту.

Таким образом, объём конуса определяется через площадь основания и высоту, и формула \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \) даёт точное значение объёма, основанное на геометрических свойствах фигуры.

2. Усечённый конус — это часть конуса, отрезанная плоскостью, параллельной основанию, при этом остаются два основания с радиусами \( R \) (большое основание) и \( r \) (меньшее основание). Объём усечённого конуса вычисляют по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) \), где \( h \) — высота усечённой части, то есть расстояние между основаниями.

Эта формула получается из разности объёмов двух конусов: большого полного конуса и меньшего, который был отрезан сверху. Сумма квадратов радиусов и произведение радиусов отражают изменение площади поперечного сечения между двумя основаниями. Формула учитывает плавное изменение площади сечения от одного основания к другому, поэтому объём выражается через три слагаемых.

Для точных вычислений важно знать высоту между основаниями и радиусы каждого основания. Это позволяет точно определить объём усечённого конуса, что часто необходимо в инженерных и архитектурных задачах, где формы объектов не идеальны.

3. Цилиндр — это тело с двумя параллельными круглыми основаниями одинакового радиуса \( R \), соединёнными боковой поверхностью. Объём цилиндра вычисляют по формуле \( V = S_{\text{осн}} h = \pi R^2 h \), где \( h \) — высота цилиндра, расстояние между основаниями.

Формула основана на том, что объём равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания — круг с радиусом \( R \), равная \( \pi R^2 \). Высота измеряется перпендикулярно основаниям. Цилиндр имеет постоянное поперечное сечение по всей высоте, поэтому объём вычисляется просто умножением площади на высоту.

Эта формула широко используется в практических задачах, например, при расчёте объёма резервуаров, труб и других цилиндрических объектов. Знание радиуса и высоты позволяет быстро и точно определить объём.

4. Объём шара вычисляют по формуле \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \), где \( R \) — радиус шара. Шар — это множество всех точек в пространстве, расположенных на расстоянии не более \( R \) от центра. Формула отражает трёхмерную симметрию и равномерное распределение объёма вокруг центра.

Формула получается интегрированием площадей поперечных сечений шара, которые являются кругами с радиусом, зависящим от высоты сечения. Коэффициент \( \frac{4}{3} \) связан с геометрическими свойствами сферы и её объёмом относительно радиуса.

Объём шара часто используется в физике, геометрии и инженерии для расчёта массы, плотности и других характеристик сферических объектов.

5. Объём шарового сегмента — часть шара, ограниченная плоскостью. Формула для объёма сегмента с высотой \( h \) равна \( V = \frac{\pi h^2}{3} (3R — h) \), где \( R \) — радиус шара. Высота \( h \) измеряется от плоскости сечения до поверхности шара.

Эта формула учитывает изменение объёма в зависимости от высоты сегмента. При \( h = R \) сегмент становится полушаром, и объём равен половине объёма шара. Формула получается интегрированием объёмов тонких слоёв, образующих сегмент.

Знание этой формулы полезно при расчётах в задачах, связанных с частями сфер, например, в гидродинамике или архитектуре.

6. Объём шарового слоя — часть шара между двумя параллельными плоскостями, срезающими два сегмента. Его можно вычислить как разность объёмов двух шаровых сегментов или по формуле \( V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + 3b^2 + h^2) \), где \( a \) и \( b \) — радиусы кругов срезов, \( h \) — расстояние между плоскостями.

Формула учитывает площадь оснований и высоту слоя, отражая изменение объёма между двумя сечениями. Радиусы \( a \) и \( b \) связаны с положением срезов относительно центра шара.

Этот объём важен при моделировании слоёв в сферах, например, в геологии или медицине.

7. Объём шарового сектора — часть шара, ограниченная двумя радиальными плоскостями и поверхностью шара. Формула объёма сектора с высотой \( h \) равна \( V = \frac{2\pi R^2 h}{3} \), где \( R \) — радиус шара.

Эта формула отражает отношение объёма сектора к объёму полного шара, учитывая высоту сектора. Сектор можно представить как «кусок» шара с центральным углом, и объём пропорционален высоте.

Расчёт объёма шарового сектора важен в задачах, связанных с сегментами сферической поверхности и их свойствами.