ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Вопросы Параграф 4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Что называют произведением ненулевого вектора \( \vec{a} \) и числа \( k \), отличного от нуля?
2. Что можно сказать о векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если \( \vec{b} = k \vec{a} \), где \( k \) — некоторое число?
3. Известно, что векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны, причём \( \vec{a} \neq \emptyset \). Как можно выразить вектор \( \vec{b} \) через вектор \( \vec{a} \)?
4. Вектор \( \vec{a} \) имеет координаты \((a_1; a_2; a_3)\). Чему равны координаты вектора \( k\vec{a} \)?
5. Что можно сказать о векторах, координаты которых равны \((a_1; a_2; a_3)\) и \((ka_1; ka_2; ka_3)\)?
6. Запишите сочетательное и распределительное свойства умножения вектора на число.
7. Сформулируйте необходимое и достаточное условия компланарности трёх векторов.
8. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трём данным некомпланарным векторам.
9. В каком случае говорят, что точка \( X_1 \) является образом точки \( X \) при гомотетии с центром \( O \) и коэффициентом \( k \)?
10. Опишите преобразование фигуры \( F \), которое называют гомотетией с центром \( O \) и коэффициентом \( k \).
11. Сформулируйте свойства гомотетии.
12. Какая фигура является сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию пирамиды?

1. Произведением ненулевого вектора \( \vec{a} \) и числа \( k \neq 0 \) называют вектор \( k\vec{a} \), который коллинеарен \( \vec{a} \) и направлен так же, если \( k > 0 \), и противоположно, если \( k < 0 \).

2. Если \( \vec{b} = k \vec{a} \), то векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

3. Если \( \vec{a} \neq \emptyset \) и \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны, то существует число \( k \), такое что \( \vec{b} = k \vec{a} \).

4. Если \( \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) \), то координаты вектора \( k\vec{a} \) равны \( (ka_1; ka_2; ka_3) \).

5. Векторы с координатами \( (a_1; a_2; a_3) \) и \( (ka_1; ka_2; ka_3) \) коллинеарны, так как один является произведением другого на число \( k \).

6. Сочетательное свойство: \( k(m\vec{a}) = (km)\vec{a} \).
Распределительное свойство: \( k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} \).

7. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведение равно нулю: \( (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0 \).

8. Теорема: любой вектор \( \vec{v} \) из пространства можно единственным образом представить в виде \( \vec{v} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} \), где \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) — три некомпланарных вектора.

9. Точка \( X_1 \) является образом точки \( X \) при гомотетии с центром \( O \) и коэффициентом \( k \), если \( \overrightarrow{OX_1} = k \overrightarrow{OX} \).

10. Гомотетия с центром \( O \) и коэффициентом \( k \) — преобразование, при котором каждая точка \( X \) фигуры \( F \) переходит в точку \( X_1 \), такую что \( \overrightarrow{OX_1} = k \overrightarrow{OX} \).

11. Свойства гомотетии: сохраняет коллинеарность; сохраняет отношение расстояний на прямой; преобразует прямые в параллельные прямые; если \( k > 0 \), сохраняет направление, если \( k < 0 \), меняет направление.

12. Сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию, является многоугольник, подобный основанию пирамиды.

1. Произведением ненулевого вектора \( \vec{a} \) и числа \( k \neq 0 \) называют вектор \( k\vec{a} \), который направлен вдоль той же прямой, что и \( \vec{a} \). Если \( k > 0 \), то \( k\vec{a} \) совпадает по направлению с \( \vec{a} \), если \( k < 0 \), то направлен в противоположную сторону. Длина вектора \( k\vec{a} \) равна \( |k| \) умноженному на длину \( \vec{a} \).

2. Если \( \vec{b} = k \vec{a} \), то векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то есть они коллинеарны. Число \( k \) определяет масштаб и направление \( \vec{b} \) относительно \( \vec{a} \).

3. Если векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны и \( \vec{a} \neq \emptyset \), то существует единственное число \( k \), такое что \( \vec{b} = k \vec{a} \). Это выражение показывает, что \( \vec{b} \) является результатом умножения \( \vec{a} \) на скаляр \( k \).

4. Вектор \( \vec{a} \) имеет координаты \( (a_1; a_2; a_3) \). Тогда координаты вектора \( k\vec{a} \) равны \( (ka_1; ka_2; ka_3) \), так как умножение вектора на число умножает каждую координату на это число.

5. Векторы с координатами \( (a_1; a_2; a_3) \) и \( (ka_1; ka_2; ka_3) \) коллинеарны, потому что второй вектор получается умножением первого на число \( k \). Это означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

6. Сочетательное свойство умножения вектора на число записывается как \( k(m\vec{a}) = (km)\vec{a} \), что означает, что умножение на два числа подряд эквивалентно умножению на их произведение. Распределительное свойство: \( k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} \), то есть умножение вектора на число распространяется на сумму векторов.

7. Три вектора \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: \( (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0 \). Это условие означает, что векторы лежат в одной плоскости.

8. Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам утверждает, что любой вектор \( \vec{v} \) пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации \( \vec{v} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} \), где \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) — три некомпланарных вектора, а \( x, y, z \) — числа.

9. Точка \( X_1 \) является образом точки \( X \) при гомотетии с центром \( O \) и коэффициентом \( k \), если вектор \( \overrightarrow{OX_1} \) равен \( k \) умноженному на вектор \( \overrightarrow{OX} \), то есть \( \overrightarrow{OX_1} = k \overrightarrow{OX} \).

10. Гомотетия с центром \( O \) и коэффициентом \( k \) — это преобразование фигуры \( F \), при котором каждой точке \( X \) фигуры ставится в соответствие точка \( X_1 \), удовлетворяющая условию \( \overrightarrow{OX_1} = k \overrightarrow{OX} \). При этом расстояния от центра \( O \) до точек фигуры умножаются на \( |k| \), направления сохраняются, если \( k > 0 \), и меняются на противоположные, если \( k < 0 \). Таким образом, фигура увеличивается или уменьшается в масштабе \( |k| \) относительно центра \( O \).

11. Свойства гомотетии: сохраняет коллинеарность точек; сохраняет отношение расстояний между точками на одной прямой; преобразует прямые в параллельные прямые; если коэффициент \( k > 0 \), сохраняет направление векторов, если \( k < 0 \), меняет направление на противоположное.

12. Сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию, является многоугольник, подобный основанию пирамиды. Это происходит потому, что параллельное сечение сохраняет пропорции и форму основания, уменьшая или увеличивая её в зависимости от положения сечения.