ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Вопросы Параграф 6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1. Что называют уравнением фигуры \( F \), заданной в координатном пространстве \( xyz \)?

2. Какой вектор \( \overrightarrow{AB} \) называют перпендикулярным прямой \( a \)? Плоскости \( \alpha \)?

3. Какой вектор называют вектором нормали данной плоскости?

4. Какой вид имеет уравнение плоскости с вектором нормали \( \overrightarrow{AB} (a; b; c) \), проходящей через точку \( M(x_0; y_0; z_0) \)?

5. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через начало координат?

1. Уравнением фигуры \( F \), заданной в координатном пространстве \( xyz \), называют уравнение, которое описывает множество точек, принадлежащих этой фигуре. Это обычно уравнение вида \( f(x, y, z) = 0 \).

2. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) называют перпендикулярным прямой \( a \), если он ортогонален направляющему вектору этой прямой. Аналогично, вектор \( \overrightarrow{AB} \) называют перпендикулярным плоскости \( \alpha \), если он ортогонален любому вектору, лежащему в плоскости \( \alpha \).

3. Вектором нормали данной плоскости называют ненулевой вектор, перпендикулярный всем векторам, лежащим в этой плоскости.

4. Уравнение плоскости с вектором нормали \( \overrightarrow{AB} (a; b; c) \), проходящей через точку \( M(x_0; y_0; z_0) \), имеет вид:
\( a(x — x_0) + b(y — y_0) + c(z — z_0) = 0 \).

5. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат, с вектором нормали \( (a; b; c) \) имеет вид:
\( ax + by + cz = 0 \).

1. Уравнением фигуры \( F \), заданной в координатном пространстве \( xyz \), называют уравнение или систему уравнений, которые описывают множество точек \( (x; y; z) \), принадлежащих этой фигуре. Это уравнение связывает координаты точек, ограничивая их расположение в пространстве. Например, уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом \( R \) записывается как \( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \).

2. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) называют перпендикулярным прямой \( a \), если он ортогонален направляющему вектору этой прямой. Пусть направляющий вектор прямой \( a \) равен \( \overrightarrow{d} \). Тогда условие перпендикулярности записывается как скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{d} = 0 \). Аналогично, вектор \( \overrightarrow{AB} \) называют перпендикулярным плоскости \( \alpha \), если он перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости \( \alpha \), то есть \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \) для всех \( \overrightarrow{v} \in \alpha \).

3. Вектором нормали данной плоскости называют ненулевой вектор, который перпендикулярен всем векторам, лежащим в этой плоскости. Если плоскость задана двумя ненулевыми неколлинеарными векторами \( \overrightarrow{u} \) и \( \overrightarrow{v} \), лежащими в плоскости, то вектор нормали \( \overrightarrow{n} \) находится как векторное произведение \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \).

4. Уравнение плоскости с вектором нормали \( \overrightarrow{AB} (a; b; c) \), проходящей через точку \( M(x_0; y_0; z_0) \), выводится из условия, что любой вектор \( \overrightarrow{MP} = (x — x_0; y — y_0; z — z_0) \), направленный от точки \( M \) к произвольной точке \( P(x; y; z) \) плоскости, должен быть перпендикулярен нормали. Это означает, что скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MP} = 0 \), то есть \( a(x — x_0) + b(y — y_0) + c(z — z_0) = 0 \).

5. Если плоскость проходит через начало координат \( O(0; 0; 0) \), то уравнение плоскости с нормалью \( (a; b; c) \) упрощается, так как \( (x_0; y_0; z_0) = (0; 0; 0) \). Подставляя в общее уравнение плоскости, получаем \( a x + b y + c z = 0 \).