ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 106 Мерзляк — Подробные Ответы

Найдите угол между биссектрисами вертикальных углов.

1. Вертикальные углы AOD и BOC:
По определению вертикальные углы равны, значит:
∠AOD = ∠BOC.
Пусть биссектрисы этих углов пересекаются в точках E и F, тогда ∠EOA = ∠BOC.
Из свойств углов, образующих прямую, сумма углов на одной стороне составляет 180°, то есть:
∠EOA + ∠BOC = ∠EOF.
Если провести биссектрисы, то угол COF также появляется дважды, поскольку обе биссектрисы исходят из вершин вертикальных углов.
Получается:
∠EOA + ∠COF + ∠COF = ∠EOF.
Значит, 2∠COF = 2∠EOA и ∠COF = ∠EOA.

2. Смежные углы DOA и AOC:
Смежные углы равны 180°, поэтому:
∠DOA + ∠AOC = 180°.
Если рассмотреть другой набор смежных углов с учетом биссектрис:
∠DOF + ∠EOA + ∠AOC = 180°.
Подставим выражение для ∠AOC, учитывая, что AOC = 180° − 2∠EOA:
∠EOA + ∠EOA + ∠AOC = 180°,
Отсюда ∠AOC = 180° − 2∠EOA.

3. Рассмотрим угол EOF:
Этот угол складывается из следующих частей:
∠EOF = ∠EOA + ∠AOC + ∠COF.
Подставим значения:
∠EOF = ∠EOA + (180° − 2∠EOA) + ∠EOA.
Объединяем подобные слагаемые:
∠EOF = ∠EOA + ∠EOA − 2∠EOA + 180°.
∠EOF = 0 + 180°.
Итак, ∠EOF = 180°.

Ответ: угол EOF равен 180°.

1. Углы AOD и BOC вертикальные:
∠EOA = ∠BOC;
∠EOA + ∠BOC = ∠EOF;
∠EOA + ∠COF + ∠COF = ∠EOF;
2∠COF = 2∠EOA;
∠COF = ∠EOA;

2. Углы DOA и AOC смежные:
∠DOA + ∠AOC = 180°;
∠DOF + ∠EOA + ∠AOC = 180°;
∠EOA + ∠EOA + ∠AOC = 180°;
∠AOC = 180° − 2∠EOA;

1) Углы AOD и BOC вертикальные:
Из геометрии известно, что вертикальные углы равны, значит, ∠EOA = ∠BOC.
Теперь, поскольку сумма всех углов, образующих одну прямую, равна 180°, для углов AOD и BOC мы получаем:
∠EOA + ∠BOC = ∠EOF.
Подставляем известные значения:
∠EOA + ∠COF + ∠COF = ∠EOF.
Мы видим, что угол COF повторяется дважды, так как биссектрисы этих углов одинаковы.
Отсюда мы получаем, что 2∠COF = 2∠EOA, а следовательно, ∠COF = ∠EOA.

2) Углы DOA и AOC смежные:
Смежные углы составляют 180°, то есть:
∠DOA + ∠AOC = 180°.
Заменяем ∠DOA на ∠DOF (так как это также смежные углы с ∠EOA), получаем:
∠DOF + ∠EOA + ∠AOC = 180°.
Дальше подставляем значение для ∠AOC, так как угол AOC равен 180° минус дважды угол EOA:
∠EOA + ∠EOA + ∠AOC = 180°.
И отсюда ∠AOC = 180° − 2∠EOA.

3) Рассмотрим угол EOF:
Теперь, чтобы найти угол EOF, мы используем его составные части:
∠EOF = ∠EOA + ∠AOC + ∠COF.
Подставляем значения из предыдущего шага:
∠EOF = ∠EOA + 180° − 2∠EOA + ∠EOA.
Упрощаем выражение:
∠EOF = 2∠EOA − 2∠EOA + 180°.
Таким образом, мы получаем, что ∠EOF = 180°.

Ответ: 180°.

Рассмотрим угол EOF:
∠EOF = ∠EOA + ∠AOC + ∠COF;
∠EOF = ∠EOA + 180° − 2∠EOA + ∠EOA;
∠EOF = 2∠EOA − 2∠EOA + 180°;
∠EOF = 180°.

Ответ: 180°.