ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 122 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что если биссектрисы углов AOB и BOC перпендикулярны, то точки А, О и С лежат на одной прямой.

Дано:

• OE — биссектриса угла ∠AOB;

• OF — биссектриса угла ∠BOC;

• ∠EOF = 90°.

Докажите:

• Точки A, O и C лежат на одной прямой.

Решение:

1) Рассмотрим угол ∠AOB:

• ∠AOB = ∠AOE + ∠EOB;

• ∠AOB = 2∠EOB.

2) Рассмотрим угол ∠BOC:

• ∠BOC = ∠BOF + ∠FOC;

• ∠BOC = 2∠EOF.

3) Рассмотрим угол ∠AOC:

• ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC;

• ∠AOC = 2∠EOB + 2∠EOF;

• ∠AOC = 2(∠EOB + ∠EOF) = 180°.

Что и требовалось доказать.

1. В пункте 1 мы начинаем с того, что рассматривали угол ∠AOB, который состоит из двух углов: ∠AOE и ∠EOB, и так как OE — биссектриса угла ∠AOB, то углы ∠AOE и ∠EOB равны между собой. Следовательно, угол ∠AOB выражается как два угла ∠EOB.

2. В пункте 2 мы рассматривали угол ∠BOC, который тоже состоит из двух углов: ∠BOF и ∠FOC. Так как OF — биссектриса угла ∠BOC, то эти углы также равны между собой. Таким образом, угол ∠BOC также выражается как два угла ∠EOF.

3. В пункте 3 мы теперь рассматриваем угол ∠AOC, который равен сумме углов ∠AOB и ∠BOC. Подставляя выражения из пунктов 1 и 2, мы получаем, что угол ∠AOC равен 180°.

Таким образом, мы доказали, что точки A, O и C лежат на одной прямой, так как угол ∠AOC равен 180°.