ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 131 Мерзляк — Подробные Ответы
На рисунке 106 прямая пересекает все стороны восьмиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин?
Дано:
Прямая пересекает все стороны восьмиугольника.
Найти:
Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин?
Решение:
Если прямая пересекает отрезок, то концы этого отрезка лежат по разные стороны от данной прямой.
Пронумеруем вершины тринадцатиугольника числами от 1 до 13, перемещаясь между соседними вершинами.
Пусть некоторая прямая пересекает все его стороны, тогда по одну сторону от прямой будут лежать все четные, а по другую — все нечетные вершины многоугольника.
Вершины 1 и 13 лежат по одну сторону от прямой, значит, сторона, проведенная между ними, не может пересекать все стороны данной прямой.
Ответ: нет.
Дано:
Прямая пересекает все стороны восьмиугольника.
Найти:
Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин?
Решение:
Начнем с того, что если прямая пересекает отрезок, то концы этого отрезка обязательно лежат по разные стороны от данной прямой. Это очень важное наблюдение, так как оно лежит в основе дальнейшего рассуждения.
Теперь давайте рассмотрим тринадцатиугольник, пронумеруем его вершины от 1 до 13, начиная от любой вершины и двигаясь по часовой стрелке, перемещаясь между соседними вершинами. Таким образом, мы получаем тринадцатиугольник, где все вершины соединены последовательными отрезками, и каждый отрезок представляет собой сторону многоугольника.
Рассмотрим гипотетическую прямую, которая пересекает все стороны этого тринадцатиугольника. С учетом предыдущего наблюдения, по одну сторону от этой прямой будут располагаться все вершины, имеющие четные номера, а по другую сторону — все вершины, имеющие нечетные номера. Это происходит потому, что для того чтобы прямой пересечь все стороны многоугольника, она должна «проходить» через каждую из них, разделяя пространство на две части.
Важно отметить, что вершины 1 и 13 находятся по одну сторону от прямой, так как вершины с номерами 1 и 13 — это вершины, которые находятся на противоположных концах многоугольника, при этом они имеют разные четность (1 — нечетная, 13 — нечетная). Если бы прямая пересекала все стороны тринадцатиугольника, она должна была бы пересекать сторону, соединяющую эти две вершины (1 и 13).
Однако эта сторона не может быть пересечена прямой, которая пересекает все остальные стороны многоугольника. Причина в том, что если бы прямая проходила через сторону между вершинами 1 и 13, то она бы не могла пересечь все стороны, так как у нас нет места для того, чтобы все оставшиеся стороны также были пересечены этой прямой.
Следовательно, невозможно провести такую прямую, которая будет пересекать все стороны тринадцатиугольника и при этом не проходить через одну из его вершин, в частности, через вершины 1 и 13.
Ответ: нет.
