ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 182 Мерзляк — Подробные Ответы
На рисунке 147 прямые m и n — срединные перпендикуляры сторон AB и AC треугольника ABC. Докажите, что точка O равноудалена от всех вершин данного треугольника.
Дано:
OE ⊥ AB; AE = EB;
OF ⊥ AC; AF = FC;
Доказать: AO = BO = CO.
Решение:
1) Рассмотрим треугольники AEO и BEO:
∠AEO = ∠BEO = 90°;
EO — общая сторона;
∆AEO = ∆BEO — по первому признаку;
AO = BO.
2) Рассмотрим треугольники AFO и CFO:
∠AFO = ∠CFO = 90°;
FO — общая сторона;
∆AFO = ∆CFO — по первому признаку;
CO = AO = BO.
Что и требовалось доказать.
Дано:
OE ⊥ AB; AE = EB;
OF ⊥ AC; AF = FC;
Доказать: AO = BO = CO.
Решение:
1) Рассмотрим треугольники AEO и BEO:
∠AEO = ∠BEO = 90°. Это следует из того, что OE — перпендикуляр к стороне AB, а это означает, что угол между стороной AB и перпендикуляром равен 90°.
EO — общая сторона, так как эта сторона есть в обоих треугольниках AEO и BEO.
∆AEO = ∆BEO — по первому признаку равенства треугольников, поскольку в этих треугольниках:
один угол равен 90° (прямой угол),
общая сторона EO,
угол между общей стороной и двумя прилегающими сторонами (в обоих треугольниках угол при точке O равен).
Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету) треугольники AEO и BEO равны, а значит, их соответствующие стороны равны.
Таким образом, мы получаем, что AO = BO.
2) Рассмотрим треугольники AFO и CFO:
∠AFO = ∠CFO = 90°. Это также следует из того, что OF — перпендикуляр к стороне AC, а это означает, что угол между стороной AC и перпендикуляром равен 90°.
FO — общая сторона, так как эта сторона есть в обоих треугольниках AFO и CFO.
∆AFO = ∆CFO — по первому признаку равенства треугольников, так как:
угол при точке O равен 90°,
общая сторона FO,
угол между общей стороной и двумя прилегающими сторонами одинаков.
Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету) треугольники AFO и CFO равны, а значит, их соответствующие стороны равны.
Таким образом, мы получаем, что CO = AO = BO.
Ответ:
Таким образом, мы доказали, что AO = BO = CO. Точка O является равноудаленной от всех вершин треугольника ABC.
