ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 186 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.

Краткий ответ:

Дано:
∠BAC = ∠B’A’C’;
AD — биссектриса ∠A;
A’D’ — биссектриса ∠A’;
AD = A’D’;
AC = A’C’.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники ADC и A’D’C’:
∠DAC = 1/2 ∠A = 1/2 ∠A’;
∠ADC = A’D’C’ — по первому признаку;
∠ACD = A’C’D’ — по второму признаку.

2) Рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’:
∠ACB = ∠A’C’B’;
ΔABC = ΔA’B’C’ — по второму признаку.

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:

∠BAC = ∠B’A’C’ — углы при вершинах A и A’ равны;
AD — биссектриса угла ∠A;
A’D’ — биссектриса угла ∠A’;
AD = A’D’ — биссектрисы равны;
AC = A’C’ — соответствующие стороны равны.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники ADC и A’D’C’:

Шаг 1: ∠DAC = 1/2 ∠A и ∠A’ = 1/2 ∠A’, так как биссектрисы делят углы пополам.

Так как биссектриса делит угол пополам, то угол ∠DAC равен половине угла ∠A, а угол ∠A’D’C’ равен половине угла ∠A’.

Шаг 2: ∠ADC = A’D’C’ — по первому признаку равенства треугольников.

В этих треугольниках угол ∠ADC равен углу ∠A’D’C’ (так как угол ∠A в одном треугольнике и угол ∠A’ в другом треугольнике делятся пополам). Так как угол между биссектрисами этих углов одинаков, это дает нам основание для того, чтобы утверждать, что углы ∠ADC и ∠A’D’C’ равны.

Шаг 3: ∠ACD = A’C’D’ — по второму признаку.

Также наблюдаем, что углы ∠ACD и ∠A’C’D’ равны, так как они составляют одинаковые углы в двух равных треугольниках, где все стороны и углы сопоставимы, если две стороны равны и углы между ними равны.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ADC и A’D’C’ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2) Рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’:

Шаг 1: ∠ACB = ∠A’C’B’ — углы при вершинах B и B’ равны, так как треугольники равны.

Это утверждение следует из того, что треугольники ABC и A’B’C’ равны, так как их соответствующие углы и стороны совпадают. Мы уже доказали, что угол ∠ACB равен углу ∠A’C’B’ по принципу сохранения равенства углов в соответствующих треугольниках.

Шаг 2: ΔABC = ΔA’B’C’ — по второму признаку равенства треугольников.

Так как у нас есть равенство углов ∠ACB и ∠A’C’B’, а также равенство сторон AC и A’C’, и еще равенство стороны AB и A’B’, то по второму признаку равенства треугольников, треугольники ABC и A’B’C’ равны.

Таким образом, мы доказали равенство треугольников ABC и A’B’C’ по второму признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Вывод:

Так как мы доказали равенство треугольников ABC и A’B’C’ и равенство треугольников ADC и A’D’C’, это позволяет нам утверждать, что треугольники ABC и A’B’C’ действительно равны, и следовательно:

ΔABC = ΔA’B’C’.

Оцени решение