Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 186 Мерзляк — Подробные Ответы
Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
Дано:
∠BAC = ∠B’A’C’;
AD — биссектриса ∠A;
A’D’ — биссектриса ∠A’;
AD = A’D’;
AC = A’C’.
Решение:
1) Рассмотрим треугольники ADC и A’D’C’:
∠DAC = 1/2 ∠A = 1/2 ∠A’;
∠ADC = A’D’C’ — по первому признаку;
∠ACD = A’C’D’ — по второму признаку.
2) Рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’:
∠ACB = ∠A’C’B’;
ΔABC = ΔA’B’C’ — по второму признаку.
Что и требовалось доказать.
Дано:
∠BAC = ∠B’A’C’ — углы при вершинах A и A’ равны;
AD — биссектриса угла ∠A;
A’D’ — биссектриса угла ∠A’;
AD = A’D’ — биссектрисы равны;
AC = A’C’ — соответствующие стороны равны.
Решение:
1) Рассмотрим треугольники ADC и A’D’C’:
Шаг 1: ∠DAC = 1/2 ∠A и ∠A’ = 1/2 ∠A’, так как биссектрисы делят углы пополам.
- Так как биссектриса делит угол пополам, то угол ∠DAC равен половине угла ∠A, а угол ∠A’D’C’ равен половине угла ∠A’.
Шаг 2: ∠ADC = A’D’C’ — по первому признаку равенства треугольников.
- В этих треугольниках угол ∠ADC равен углу ∠A’D’C’ (так как угол ∠A в одном треугольнике и угол ∠A’ в другом треугольнике делятся пополам). Так как угол между биссектрисами этих углов одинаков, это дает нам основание для того, чтобы утверждать, что углы ∠ADC и ∠A’D’C’ равны.
Шаг 3: ∠ACD = A’C’D’ — по второму признаку.
- Также наблюдаем, что углы ∠ACD и ∠A’C’D’ равны, так как они составляют одинаковые углы в двух равных треугольниках, где все стороны и углы сопоставимы, если две стороны равны и углы между ними равны.
- Таким образом, мы доказали, что треугольники ADC и A’D’C’ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
2) Рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’:
Шаг 1: ∠ACB = ∠A’C’B’ — углы при вершинах B и B’ равны, так как треугольники равны.
- Это утверждение следует из того, что треугольники ABC и A’B’C’ равны, так как их соответствующие углы и стороны совпадают. Мы уже доказали, что угол ∠ACB равен углу ∠A’C’B’ по принципу сохранения равенства углов в соответствующих треугольниках.
Шаг 2: ΔABC = ΔA’B’C’ — по второму признаку равенства треугольников.
- Так как у нас есть равенство углов ∠ACB и ∠A’C’B’, а также равенство сторон AC и A’C’, и еще равенство стороны AB и A’B’, то по второму признаку равенства треугольников, треугольники ABC и A’B’C’ равны.
Таким образом, мы доказали равенство треугольников ABC и A’B’C’ по второму признаку (по двум сторонам и углу между ними).
Вывод:
Так как мы доказали равенство треугольников ABC и A’B’C’ и равенство треугольников ADC и A’D’C’, это позволяет нам утверждать, что треугольники ABC и A’B’C’ действительно равны, и следовательно:
ΔABC = ΔA’B’C’.
Геометрия
