ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 191 Мерзляк — Подробные Ответы

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. На отрезке AC отмечена точка M, а на отрезке BD — точка K так, что AM = BK. Докажите, что:

1. OM = OK;
2. точки M, O и K лежат на одной прямой.

Дано:

• AO = OB;
• CO = OD;
• AM = BK;

Докажите:

1. OM = OK;
2. ∠MOK = 180°;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники AOC и BOD:

• ∠AOC = ∠BOD — вертикальные;
• ∠AOC = ∠BOD — по первому признаку;
• ∠CAO = ∠DBO;

2) Рассмотрим треугольники AOM и BOK:

• ∠MAO = ∠BKO — по первому признаку;
• MO = OK, ∠AOM = ∠BOK;

3) Сумма смежных углов:

• ∠AOB = ∠AOM + ∠MOB;
• ∠AOB = ∠BOK + ∠MOB;
• ∠MOK = ∠AOB = 180°;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AO = OB;
• CO = OD;
• AM = BK;

Докажите:

1. OM = OK;
2. ∠MOK = 180°;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники AOC и BOD:

• ∠AOC = ∠BOD — вертикальные углы. Вертикальные углы всегда равны, так как они образуются пересечением двух прямых, и угол в точке пересечения всегда одинаков.
• ∠AOC = ∠BOD — по первому признаку равенства треугольников (если два угла и одна сторона между ними равны, то треугольники равны). Это применимо к треугольникам AOC и BOD, поскольку угол ∠AOC равен углу ∠BOD, а сторона OC общая.
• ∠CAO = ∠DBO. Мы можем утверждать, что углы ∠CAO и ∠DBO равны, так как в обоих треугольниках есть общие стороны и одинаковые углы (равенство углов основано на равенстве двух треугольников).

2) Рассмотрим треугольники AOM и BOK:

• ∠MAO = ∠BKO — по первому признаку равенства треугольников. Углы ∠MAO и ∠BKO равны, потому что оба угла образуются одинаково через биссектрису (биссектрисы углов). Это значит, что оба треугольника равны по первому признаку (два угла и сторона между ними).
• MO = OK. В результате равенства треугольников AOM и BOK, все соответствующие стороны равны, включая MO и OK, что является важным шагом в доказательстве.
• ∠AOM = ∠BOK. Углы ∠AOM и ∠BOK равны, поскольку углы между биссектрисами и сторонами одинаковы.

3) Сумма смежных углов:

• ∠AOB = ∠AOM + ∠MOB. Это выражение основано на том, что сумма углов на прямой всегда равна 180° (сумма смежных углов всегда равна 180°).
• ∠AOB = ∠BOK + ∠MOB. Подставляем значения из предыдущих рассуждений. Мы знаем, что углы ∠AOM и ∠MOB равны углам ∠BOK и ∠MOB, следовательно, они равны.
• ∠MOK = ∠AOB = 180°. Таким образом, сумма углов ∠AOB и ∠MOB равна 180°, что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать.