Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 192 Мерзляк — Подробные Ответы
На одной стороне угла с вершиной в точке O (рис. 151) отмечены точки A и B, а на другой — точки C и D так, что OA = OC, AB = CD. Докажите, что луч OM является биссектрисой угла BOD, где M — точка пересечения отрезков AD и BC.
Дано:
- OA = OC;
- AB = CD;
Докажите:
- M — биссектриса ∠O.
Решение:
1) Рассмотрим треугольники OCB и OAD:
- OB = OA + AB = OC + CD = OD;
- ∠BOC = ∠DOA — общий угол;
- ∠OCB = ∠OAD — по первому признаку;
- ∠OCB = ∠OAD = ∠OCB;
2) Рассмотрим треугольники AMB и CMD:
- ∠BAM = ∠LDM;
- ∠BAM = 180° — ∠OAM;
- ∠DCM = 180° — ∠LCM;
- ∠BAM = ∠DCM;
- ΔAMB = ΔCMD — по второму признаку;
- MB = MD;
3) Рассмотрим треугольники OMB и OMD:
- ∠OBM = ∠ODM;
- ΔOMB = ΔOMD — по первому признаку;
- ∠BOM = ∠DOM;
Что и требовалось доказать.
Дано:
- OA = OC;
- AB = CD;
Докажите:
- M — биссектриса ∠O.
Решение:
1) Рассмотрим треугольники OCB и OAD:
- Общие стороны: по условию задачи, отрезки OA и OC равны, так же как и отрезки AB и CD. Таким образом, можно записать:OB = OA + AB = OC + CD = OD.
- Углы: угол ∠BOC является общим для треугольников OCB и OAD, и так как угол ∠DOA также общий для этих треугольников, то можем записать:∠BOC = ∠DOA.
- Равенство углов: исходя из предыдущих пунктов, можно утверждать, что угол ∠OCB равен углу ∠OAD, так как эти углы являются вертикальными углами, образованными пересечением двух прямых. Таким образом:∠OCB = ∠OAD.
- Равенство треугольников: из-за равенства двух сторон и равенства углов между ними, можно по первому признаку равенства треугольников сделать вывод, что:ΔOCB = ΔOAD.
2) Рассмотрим треугольники AMB и CMD:
- Углы: углы ∠BAM и ∠LDM образуют пару вертикальных углов, так что они равны. То же самое верно для углов ∠BAM и ∠DCM.∠BAM = ∠LDM, ∠BAM = ∠DCM.
- Сумма углов: так как ∠BAM и ∠DCM являются углами между биссектрисами, их суммы составляют 180° (поскольку они лежат на одной прямой). Мы можем записать:∠BAM = 180° − ∠OAM и ∠DCM = 180° − ∠LCM.
- Равенство треугольников: в треугольниках AMB и CMD из-за равенства углов и сторон, таких как ∠BAM = ∠DCM, можно утверждать, что треугольники равны. Таким образом:ΔAMB = ΔCMD — по второму признаку равенства треугольников.
- Равенство сторон: так как ΔAMB = ΔCMD, это также означает, что MB = MD.
3) Рассмотрим треугольники OMB и OMD:
- Углы: углы ∠OBM и ∠LDM — вертикальные углы, которые равны между собой:∠OBM = ∠LDM.
- Равенство треугольников: по первому признаку равенства треугольников, так как две стороны и угол между ними равны, можно утверждать, что:ΔOMB = ΔOMD.
- Равенство углов: из этого следует, что угол ∠BOM равен углу ∠LDM, так как углы образованы биссектрисами, проходящими через одну вершину.∠BOM = ∠DOM.
Что и требовалось доказать: Теперь, используя эти выводы, мы можем утверждать, что точка M является биссектрисой угла ∠O, и что она лежит на одной прямой с точкой O и K, как того требовало доказательство.
Геометрия
