ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 211 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

На рисунке 162 AO = CO, ∠AOB = ∠COB. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Краткий ответ:

Дано: AO = CO; ∠AOB = ∠COB.

Докажите: ∆ABC — равнобедренный.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники AOB и COB:
BO — общая сторона;
∠AOB = ∠COB — по первому признаку;
∠AOB = ∠COB;
2) Треугольник AOC равнобедренный:
AO = CO;
∠OAC = ∠OCA;
3) Рассмотрим треугольник ABC:
∠A = ∠AOB + ∠OAC;
∠B = ∠COB + ∠OCA;
∆ABC — равнобедренный;

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

В задаче нам даны два треугольника, которые имеют общую сторону и равные углы. Необходимо доказать, что треугольник ABC равнобедренный. Для этого разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Рассмотрим два треугольника ∆AOB и ∆COB. У нас есть следующие данные:

Сторона BO общая для этих треугольников;
Углы ∠AOB и ∠COB равны (по условию задачи).

По первому признаку равенства треугольников, когда две стороны и угол между ними равны, треугольники ∆AOB и ∆COB равны. То есть:

∆AOB = ∆COB.

Шаг 2: Теперь, зная, что треугольники ∆AOB и ∆COB равны, можно сделать вывод о равенстве сторон, которые не являются общей стороной:

Стороны AO = CO, так как они соответствуют сторонам в равных треугольниках;
Углы ∠OAC и ∠OCA также равны между собой, так как они соответствуют углам в равных треугольниках.

Таким образом, треугольник ∆AOC является равнобедренным, так как его боковые стороны AO = CO, и углы при основании равны (∠OAC = ∠OCA).

Шаг 3: Рассмотрим треугольник ∆ABC. Мы можем выразить углы ∠A и ∠B через углы, которые мы уже нашли:

Угол ∠A = ∠AOB + ∠OAC;
Угол ∠B = ∠COB + ∠OCA.

Поскольку углы ∠AOB = ∠COB и ∠OAC = ∠OCA, то углы ∠A и ∠B равны:

∠A = ∠B.

Шаг 4: Так как углы при основании равны, то треугольник ∆ABC является равнобедренным. Таким образом, мы доказали, что:

∆ABC — равнобедренный.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

Оцени решение