ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 217 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике MKE известно, что MK = ME. На стороне KE отмечены точки F и N так, что точка N лежит между точками F и E, причём ∠KMF = ∠EMN. Докажите, что ∠MFN = ∠MNF.

Дано: MK = ME; ∠KMF = ∠EMN.

Докажите: ∠MFN = ∠MNF.

Решение:

• 1) ∆KME — равнобедренный:
  ∠MKE = ∠MKE;
• 2) Рассмотрим треугольники MKF и MEN:
  ∆MKF = ∆MEN — по второму признаку;
• MF = MN;
• 3) Рассмотрим треугольник FMN:
  MF = MN;
  ∆FMN — равнобедренный;
• ∠MFN = ∠MNF;

Что и требовалось доказать.

Для доказательства того, что углы ∠MFN и ∠MNF равны, давайте поэтапно разберем задачу и используем геометрические признаки равенства треугольников.

Шаг 1: В треугольнике ∆KME, поскольку MK = ME (по условию задачи), мы можем заключить, что ∆KME является равнобедренным треугольником. Это означает, что углы при основании равны:

• ∠MKE = ∠MKE.

Таким образом, угол ∠MKE равен углу ∠MKE, что соответствует свойству равнобедренных треугольников.

Шаг 2: Теперь рассмотрим треугольники ∆MKF и ∆MEN. В этих треугольниках мы знаем следующее:

• Сторона MK = ME;
• Углы ∠KMF = ∠EMN (по условию задачи);
• Сторона MF = MN (так как точки M и N лежат на прямой KE).

Таким образом, треугольники ∆MKF и ∆MEN равны по второму признаку равенства треугольников (сторона — угол — сторона). Следовательно, их соответственные стороны равны, а значит:

• MF = MN.

Шаг 3: Из равенства треугольников ∆MKF и ∆MEN следует, что равны и соответственные углы при вершинах F и N:

• ∠MFN = ∠MNF.

Это означает, что в треугольнике MFN две стороны равны (MF = MN), и углы при основании также равны (по свойству равнобедренного треугольника):

• ∠MFN = ∠MNF.

Вывод: В треугольнике MFN углы ∠MFN и ∠MNF равны, что и требовалось доказать.