ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 219 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиа́не BD отметили произвольную точку M. Докажите, что:
1) ∆AMB = ∆CMB;
2) ∆AMD = ∆CMD.

Краткий ответ:

Дано: ∆ABC — равнобедренный; BD — медиана.

Докажите: ∆AMB = ∆CMB; ∆AMD = ∆CMD.

Решение:

1) ∆ABC — равнобедренный:
AB = BC;
BD — медиана и биссектриска:
∠ABD = ∠CBD;
2) Рассмотрим треугольники AMB и CMB:
∠AMB = ∠CMB;
BM — общая сторона;
∆AMB = ∆CMB — по первому признаку;
∆ABC — равнобедренный:
AD = CD;
BD — медиана и высота;
BD ⊥ AC;
3) Рассмотрим треугольники AMD и CMD:
∠ADM = ∠CDM = 90°;
MD — общая сторона;
∆AMD = ∆CMD — по первому признаку;

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Давайте поэтапно решим задачу, используя признаки равенства треугольников.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник ∆ABC. По условию задачи этот треугольник является равнобедренным. Это означает, что его боковые стороны равны, то есть:

AB = BC;
Углы при основании равны, то есть ∠ABD = ∠CBD.

Кроме того, BD является медианой, то есть отрезок BD делит основание AC пополам, и BD также является биссектрисой угла ∠ABC, так как треугольник равнобедренный.

Шаг 2: Рассмотрим теперь треугольники AMB и CMB. У нас есть следующие данные:

Сторона BM — общая для двух треугольников;
Углы ∠AMB и ∠CMB равны, так как это углы между боковыми сторонами, образованными медианой BD;
Стороны AM и CM равны, так как точка M расположена на медиане и делит основание AC пополам.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (сторона — угол — сторона), треугольники ∆AMB и ∆CMB равны. Это дает нам:

∆AMB = ∆CMB.

Шаг 3: Теперь рассмотрим треугольники ∆AMD и ∆CMD. Мы знаем следующее:

Сторона MD — общая для этих треугольников;
Углы ∠ADM и ∠CDM равны по условию задачи, так как BD является медианой и биссектрисой, а также делит угол ∠ABC пополам;
Стороны AM и CM равны, так как точка M лежит на медиане.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников, треугольники ∆AMD и ∆CMD равны:

∆AMD = ∆CMD.

Ответ: Мы доказали, что треугольники ∆AMB = ∆CMB и ∆AMD = ∆CMD, что и требовалось доказать.

Оцени решение