ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 220 Мерзляк — Подробные Ответы
Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из вершин углов при основании, равны.
Дано: ∆ABC — равнобедренный; AE — биссектриска ∠BAC; CF — биссектриска ∠BCA.
Докажите: AE = CF.
Решение:
- 1) ∆ABC — равнобедренный:
∠BAC = ∠BCA; - 2) Рассмотрим треугольники AEC и CFA:
∠CAE = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA = ∠ACF; - ∠ECA = ∠FAC;
- AC — общая сторона;
- ∆AEC = ∆CFA — по второму признаку;
- AE = CF;
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ∆ABC, у которого основание AC и боковые стороны AB и BC равны. На этом основании проведены две биссектрисы: AE из вершины A и CF из вершины B. Необходимо доказать, что эти биссектрисы равны.
Шаг 1: Поскольку треугольник ∆ABC равнобедренный, то углы при основании равны, то есть:
- ∠BAC = ∠BCA;
Это свойство равнобедренного треугольника нам поможет при дальнейшем решении.
Шаг 2: Рассмотрим два треугольника: ∆AEC и ∆CFA, образующиеся после проведения биссектрис AE и CF. Мы знаем, что:
- ∠CAE = 1/2 ∠BAC, так как AE — биссектриска;
- ∠ACF = 1/2 ∠BCA, так как CF — биссектриска;
- Также, так как треугольник ∆ABC равнобедренный, ∠BAC = ∠BCA, значит, ∠CAE = ∠ACF;
Таким образом, углы ∠CAE и ∠ACF равны. Далее, обратим внимание, что в треугольниках ∆AEC и ∆CFA есть общая сторона AC.
Шаг 3: Теперь применим признак равенства треугольников по двум углам и одной стороне (по углу, углу и стороне). У нас есть:
- ∠CAE = ∠ACF;
- ∠ECA = ∠FAC (так как угол ECA и угол FAC являются углами при вершине A);
- AC — общая сторона для обоих треугольников.
Так как все эти условия выполнены, то треугольники ∆AEC и ∆CFA равны по второму признаку равенства треугольников. Следовательно, их соответствующие стороны равны:
AE = CF.
Ответ: Мы доказали, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из вершин углов при основании, равны.
