ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 227 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

На продолжениях сторон AB, BC, AC равностороннего треугольника ABC (рис. 164) за точки A, B и C соответственно отложили равные отрезки AD, BK и CE. Докажите, что треугольник DEK равносторонний.

Краткий ответ:

Дано: ∆ABC — равносторонний; AD = BK = CE;

Доказать: ∆DEK — равносторонний.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ∆ABC, который равносторонний:

AB = BC = AC;
∠A = ∠B = ∠C;

2) Рассмотрим треугольники ∆DBK и ∆KCE. Так как AD = BK = CE, то:

DB = DA + AB = BK + BC = CE;
∠KBD = 180° — ∠B = ∠C;
∆DBK = ∆KCE — по первому признаку;
DK = KE;

3) Рассмотрим треугольники ∆DBK и ∆EAD:

DB = DA + AB = EC + AC = EA;
∠DBK = ∠EAD = 180° — ∠B = 180° — ∠C;
∆DBK = ∆EAD — по первому признаку;
DB = ED;

4) Рассмотрим треугольник ∆DEK:

KD = KE = DE;
∆DEK — равносторонний;

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:

∆ABC — равносторонний;
AD = BK = CE;

Доказать: ∆DEK — равносторонний.

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим треугольник ∆ABC. Поскольку треугольник равносторонний, у нас выполняются следующие равенства:

AB = BC = AC;
∠A = ∠B = ∠C;

Эти равенства необходимы для дальнейших шагов, так как они показывают, что все стороны и углы в треугольнике равны, что важно для работы с треугольниками, образованными продолжениями сторон.

Шаг 2: Теперь рассмотрим два треугольника: ∆DBK и ∆KCE. Эти треугольники имеют одинаковые стороны, так как:

DB = DA + AB = BK + BC = CE;
∠KBD = 180° — ∠B = ∠C;

Здесь мы видим, что треугольники ∆DBK и ∆KCE равны по первому признаку равенства треугольников (сторона — угол — сторона), так как все стороны и углы в этих треугольниках одинаковы.

Следовательно, получаем, что:

∆DBK = ∆KCE — по первому признаку;
DK = KE;

Шаг 3: Рассмотрим треугольники ∆DBK и ∆EAD. Здесь также выполняются важные равенства:

DB = DA + AB = EC + AC = EA;
∠DBK = ∠EAD = 180° — ∠B = 180° — ∠C;

По первому признаку равенства треугольников (сторона — угол — сторона), мы можем утверждать, что:

∆DBK = ∆EAD — по первому признаку;
DB = ED;

Шаг 4: Рассмотрим теперь треугольник ∆DEK. Мы уже знаем, что:

DK = KE = DE;

Это означает, что все три стороны треугольника ∆DEK равны между собой, и, следовательно, он является равносторонним.

Ответ: Мы доказали, что треугольник ∆DEK является равносторонним.

Оцени решение