ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 237 Мерзляк — Подробные Ответы

Биссектрисы AM и CK углов при основании AC равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный.

Дано:

• ΔABC — равнобедренный;
• AM — биссектриса ∠BAC;
• CK — биссектриса ∠BCA;

Доказать:

• ΔAOC — равнобедренный;

Решение:

• ΔABC — равнобедренный:

∠BAC = ∠BCA;

• Рассмотрим треугольник AOC:

∠OAC = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA = ∠OCA;

ΔAOC — равнобедренный;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• ΔABC — равнобедренный треугольник;
• AM — биссектриса угла ∠BAC;
• CK — биссектриса угла ∠BCA.

Доказать:

• ΔAOC — равнобедренный треугольник.

Решение:

• Пусть ΔABC — равнобедренный, то есть его боковые углы при основании равны:
  ∠BAC = ∠BCA.

• AM — биссектриса угла ∠BAC, следовательно,
  ∠MAC = ∠BAM = (1/2)∠BAC.
• CK — биссектриса угла ∠BCA, значит,
  ∠ACK = ∠KCA = (1/2)∠BCA.

Точка O — точка пересечения биссектрис AM и CK. Рассмотрим треугольник AOC:

• В треугольнике AOC угол при вершине A равен углу OAC, который составляет половину угла BAC (поскольку AM — биссектриса):
  ∠OAC = (1/2)∠BAC.
• Аналогично, угол при вершине C равен углу OCA, который составляет половину угла BCA (поскольку CK — биссектриса):
  ∠OCA = (1/2)∠BCA.

Но поскольку в равнобедренном треугольнике ∠BAC = ∠BCA, то:

(1/2)∠BAC = (1/2)∠BCA
То есть
∠OAC = ∠OCA.

Значит, в треугольнике AOC два угла равны, следовательно, он равнобедренный по определению.

Ответ: ΔAOC — равнобедренный треугольник. Что и требовалось доказать.