ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 240 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Медианы AE и CF, проведённые к боковым сторонам BC и AB равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Докажите, что треугольник AMC равнобедренный.

Краткий ответ:

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AE — медиана;
CF — медиана;

Доказать:
ΔAMC — равнобедренный;

Решение:
1) ΔABC равнобедренный:
AB = BC, ∠BAC = ∠BCA;
2) Рассмотрим треугольники AFC и CEA:
AF = 1/2 AB = 1/2 BC = CE;
∠FAC = ∠ECA;
AC — общая сторона;
ΔAFC = ΔCEA — по первому признаку;
ACF = CAE;
3) Рассмотрим треугольник AMC:
∠MAC = ∠MCA;
ΔAMC — равнобедренный;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
ΔABC — равнобедренный,
AB = BC,
AE — медиана к BC,
CF — медиана к AB.
Медианы AE и CF пересекаются в точке M.

Доказать:
ΔAMC — равнобедренный.

Решение:
1. Свойства равнобедренного треугольника:
Треугольник ABC равнобедренный, значит AB = BC и ∠BAC = ∠BCA.

2. Определим длины отрезков, на которые медианы делят стороны:
Медиана делит противоположную сторону пополам, поэтому:
AE делит BC на два равных отрезка: BE = EC = BC/2;
CF делит AB на два равных отрезка: AF = FB = AB/2.

3. Докажем равенство треугольников AFC и CEA:
— В треугольнике AFC: AF = AB/2, AC — общая сторона, CF — медиана.
— В треугольнике CEA: CE = BC/2, AC — общая сторона, AE — медиана.
Но так как AB = BC (по условию), значит AF = CE.
У них общая сторона AC, и угол между этими сторонами равен как часть исходного угла при вершине A или C.
Значит, треугольники AFC и CEA равны по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, соответствующие углы этих треугольников равны.

4. Рассмотрим треугольник AMC:
Так как треугольники AFC и CEA равны, то:
∠MAC = ∠MCA.
Это значит, что в треугольнике AMC боковые углы при вершинах A и C равны.
Следовательно, треугольник AMC равнобедренный по определению (по двум равным углам при основании).

Вывод:
Треугольник AMC — равнобедренный.
Доказательство завершено.

Оцени решение