ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 241 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Точки M и K принадлежат соответственно боковым сторонам AB и BC равнобедренного треугольника ABC, AM = CK. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный.

Краткий ответ:

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AM = CK;

Доказать:
ΔAOC — равнобедренный;

Решение:
1) ΔABC равнобедренный:
AB = BC, ∠BAC = ∠BCA;
2) Рассмотрим треугольники AMC и CKA:
∠MAC = ∠KCA;
AC — общая сторона;
ΔAMC = ΔCKA — по первому признаку;
∠ACM = ∠CAK;
3) Рассмотрим треугольник AOC:
∠OAC = ∠OCA;
ΔAOC — равнобедренный;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AM = CK;

Доказать:
ΔAOC — равнобедренный.

Решение:
1) Из условия следует, что ΔABC равнобедренный, то есть AB = BC и ∠BAC = ∠BCA.

2) Рассмотрим два треугольника: AMC и CKA.
— В них AM = CK по условию;
— Угол ∠MAC равен углу ∠KCA, так как ΔABC равнобедренный и эти углы при основании равны;
— Общая сторона AC.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) треугольники AMC и CKA равны.

3) Из равенства треугольников AMC и CKA вытекает, что ∠ACM = ∠CAK.
4) Теперь рассмотрим треугольник AOC:
— Угол при вершине O между сторонами OA и OC равен углу ∠MAC (или ∠KCA), потому что эти углы соответственные в равных треугольниках;
— Поскольку ∠OAC = ∠OCA, треугольник AOC равнобедренный по определению (два угла при основании равны).

Вывод: Таким образом, треугольник AOC равнобедренный, что и требовалось доказать.

Оцени решение