ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 242 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили соответственно точки D и E так, что ∠EAC = ∠DCA. Отрезки AE и CD пересекаются в точке F, DF = EF. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Краткий ответ:

Дано:
∠EAC = ∠DCA;
DF = EF;

Доказать:
ΔABC — равнобедренный;

Решение:
1) Рассмотрим треугольник AFC:
∠FAC = ∠FCA;
ΔAFC — равнобедренный;
AF = FC;

2) Рассмотрим треугольники ADC и CEA:
AE = AF + FE = CF + FD = CD;
AC — общая сторона;
ΔADC = ΔCEA — по первому признаку;
∠DAC = ∠ECA;

3) Рассмотрим треугольник ABC:
∠BAC = ∠BCA;
ΔABC — равнобедренный;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
∠EAC = ∠DCA;
DF = EF;

Доказать:
ΔABC — равнобедренный.

Решение:
1) Рассмотрим треугольники AFC и DFC.
Угол FAC = FCA, так как ∠EAC = ∠DCA по условию. Это значит, что треугольник AFC — равнобедренный, и AF = FC.

2) Далее, известно, что DF = EF. Значит, отрезок FE равен отрезку FD. Теперь рассмотрим треугольники ADC и CEA:

У них общая сторона AC;
AE = AF + FE = FC + FD = CD, так как AF = FC и FE = FD;
Углы при вершинах A и C равны (по условию).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны), ΔADC = ΔCEA.

3) Тогда углы DAC и ECA также равны.

4) В треугольнике ABC:

Угол при вершине A равен углу при вершине C: ∠BAC = ∠BCA.

Значит, треугольник ABC равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

Оцени решение