ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 243 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Через середину D стороны AB треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам углов ABC и BAC. Эти прямые пересекают стороны AC и BC в точках M и K соответственно. Докажите, что AM = BK.

Краткий ответ:

Дано:
AD = BD;
AA’ — бисс ∠A;
BB’ — бисс ∠B;
DM ⟂ AA’;
DK ⟂ BB’;
Доказать:
AM = BK;

Решение:
1) Рассмотрим треугольник DBK:
BB’ — биссектриса и высота;
ΔDBK — равнобедренный;
BK = BD;
2) Рассмотрим треугольник MAD:
AA’ — биссектриса и высота;
ΔMAD — равнобедренный;
AM = AD = BD = BK;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
Треугольник ABC,
AD = BD — точка D — середина стороны AB;
AA’ — биссектриса угла A;
BB’ — биссектриса угла B;
DM — прямая через D, перпендикулярная AA’ и пересекающая AC в M;
DK — прямая через D, перпендикулярная BB’ и пересекающая BC в K;
Доказать: AM = BK.

1. Рассмотрим треугольник DBK:
— Из условия D — середина AB, значит AD = BD.
— BB’ — биссектриса угла B, а также высота в ΔDBK, потому что DK перпендикулярен BB’ в точке K.
— Следовательно, треугольник DBK равнобедренный по сторонам BK = BD (так как высота, опущенная из вершины, совпадает с медианой и биссектрисой только в равнобедренном треугольнике).

2. Рассмотрим треугольник MAD:
— AA’ — биссектриса угла A, DM перпендикулярна ей, а M — точка пересечения с AC.
— Треугольник MAD также равнобедренный, так как AM = AD (аналогично предыдущему пункту, высота из D является и медианой и биссектрисой).

3. Связь между AM и BK:
— Из равенства AD = BD и построения видно, что оба отрезка AM и BK равны соответствующим сторонам равнобедренных треугольников MAD и DBK.
— Значит, AM = AD = BD = BK.

Вывод:
Доказано, что AM = BK.

Оцени решение