ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 244 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK. Найдите сторону AB, если BC = 16 см.

Краткий ответ:

Дано:

AM — медиана;
BK — бисс &angl;B;
BC = 16 см;
AM ⊥ BK;

Найти:

AB;

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABM:
BO — биссектриса и высота;
ΔABM — равнобедренный;
AB = BM;

2) В треугольнике ABC:
BC = BM + MC = BM + BM;
BC = 2BM = 2AB;
AB = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\) · 16 = 8;

Подробный ответ:

Дано:
AM — медиана треугольника ABC;
BK — биссектриса угла B;
BC = 16 см;
AM ⟂ BK.
Найти:
AB

Решение:
1) Пусть точка M — середина стороны AC, а точка K — точка пересечения биссектрисы BK с AC.
2) По определению медианы AM, AM делит сторону AC пополам, то есть AM соединяет вершину A с серединой M стороны AC.
3) Биссектриса BK делит угол B пополам и пересекает сторону AC в некоторой точке K.
4) Дано, что медиана и биссектриса перпендикулярны друг другу (AM ⟂ BK), значит в треугольнике ABM угол между медианой и биссектрисой прямой.
5) Рассмотрим треугольник ABM. Если из вершины B к основанию AC проведены сразу медиана (BM) и биссектриса (BK), при этом BM ⟂ BK, то треугольник ABM равнобедренный (по свойствам треугольника). Значит, AB = BM.
6) Рассмотрим всю сторону BC. BC = BM + MC. Поскольку M — середина AC, BM = MC. Значит, BC = 2BM. А так как AB = BM, то BC = 2AB.
7) Подставим числовое значение: BC = 16, значит 2AB = 16, отсюда AB = 8.
8) Проверим логическую связку: если AM — медиана, а BK — биссектриса и медиана ⟂ биссектрисе, тогда треугольник действительно равнобедренный, и сторона AB равна половине основания BC.
Ответ: AB = 8 см.

Оцени решение