ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 245 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон AB и AC треугольника ABC.

Краткий ответ:

Дано:
BD — медиана;
BO = OD;
AM ⊥ BD;
Найти:
AB : AC;

Решение:
1) Рассмотрим треугольник BAD:
AO — медиана и высота;
ΔBAD — равнобедренный;
AB = AD;
2) В треугольнике ABC:
AC = AD + DC = AD + AD;
AC = 2AD = 2AB;
AB : AC = 1 : 2;

Ответ: AB : AC = 1 : 2.

Подробный ответ:

Дано:
BD — медиана треугольника ABC;
BO = OD — медиана делится пополам точкой O;
AM ⊥ BD — прямая через вершину A перпендикулярна медиане и делит её пополам.
Найти:
AB : AC

Решение:
1) По условию, медиана BD делится точкой O пополам, значит BO = OD.
2) Прямая AM через вершину A перпендикулярна медиане BD и делит её пополам в точке O, то есть O — середина медианы BD.
3) Рассмотрим треугольник BAD:
— AO — медиана и одновременно высота, потому что AM ⟂ BD.
— Если медиана и высота совпадают, то треугольник BAD — равнобедренный, то есть AB = AD.
4) В треугольнике ABC точка D — середина AC, а BD — медиана.
— Значит, AD = DC.
5) Подставим, что AB = AD, а AC = AD + DC = AD + AD = 2AD.
6) Тогда AB = AD, AC = 2AD, отсюда AB : AC = AD : 2AD = 1 : 2.
Ответ: AB : AC = 1 : 2.

Оцени решение